Номер 9.11, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.11. Упростите:

1) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}} \cdot \sqrt[3]{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[4]{b\sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}}$;

3) $\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b\sqrt[4]{\frac{a}{b}}}}$;

4) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a}}$.

1) Исходное выражение: $ \sqrt{a \sqrt[3]{a}} \cdot \sqrt[3]{a \sqrt{a}} $. Для упрощения представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойства $ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $, $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt{a \sqrt[3]{a}} = \sqrt{a \cdot a^{1/3}} = \sqrt{a^{1 + 1/3}} = \sqrt{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/2} = a^{(4/3) \cdot (1/2)} = a^{4/6} = a^{2/3} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[3]{a \sqrt{a}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}} = \sqrt[3]{a^{1 + 1/2}} = \sqrt[3]{a^{3/2}} = (a^{3/2})^{1/3} = a^{(3/2) \cdot (1/3)} = a^{3/6} = a^{1/2} $.

Теперь перемножим полученные выражения:

$ a^{2/3} \cdot a^{1/2} = a^{2/3 + 1/2} = a^{4/6 + 3/6} = a^{7/6} $.

Представим результат в виде корня:

$ a^{7/6} = a^{1 + 1/6} = a^1 \cdot a^{1/6} = a \sqrt[6]{a} $.

Ответ: $ a \sqrt[6]{a} $.

2) Исходное выражение: $ \sqrt[4]{b^3 \sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2 \sqrt[4]{b}} $. Используем представление корней в виде степеней.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt[4]{b^3 \sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[4]{b^3 \cdot b^{2/3}} = \sqrt[4]{b^{3 + 2/3}} = \sqrt[4]{b^{11/3}} = (b^{11/3})^{1/4} = b^{11/12} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[3]{b^2 \sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^2 \cdot b^{1/4}} = \sqrt[3]{b^{2 + 1/4}} = \sqrt[3]{b^{9/4}} = (b^{9/4})^{1/3} = b^{9/12} = b^{3/4} $.

Перемножим результаты:

$ b^{11/12} \cdot b^{3/4} = b^{11/12} \cdot b^{9/12} = b^{11/12 + 9/12} = b^{20/12} = b^{5/3} $.

Представим ответ в виде корня:

$ b^{5/3} = b^{1 + 2/3} = b \cdot b^{2/3} = b \sqrt[3]{b^2} $.

Ответ: $ b \sqrt[3]{b^2} $.

3) Исходное выражение: $ \sqrt[4]{\frac{a}{b} \sqrt{\frac{a}{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \sqrt[4]{\frac{a}{b}}} $. Для удобства введем замену: $ x = \frac{a}{b} $. Выражение примет вид: $ \sqrt[4]{x \sqrt{x}} \cdot \sqrt{x \sqrt[4]{x}} $.

Упростим первый множитель, используя степени:

$ \sqrt[4]{x \sqrt{x}} = \sqrt[4]{x^1 \cdot x^{1/2}} = \sqrt[4]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/4} = x^{3/8} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt{x \sqrt[4]{x}} = \sqrt{x^1 \cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{5/4}} = (x^{5/4})^{1/2} = x^{5/8} $.

Перемножим полученные выражения:

$ x^{3/8} \cdot x^{5/8} = x^{3/8 + 5/8} = x^{8/8} = x^1 = x $.

Вернемся к исходным переменным, подставив $ x = \frac{a}{b} $.

Ответ: $ \frac{a}{b} $.

4) Исходное выражение: $ \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \sqrt{a}}} $. Будем упрощать каждый множитель по отдельности, двигаясь от внутреннего корня к внешнему и используя степени.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}} = \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^{5/2}}} = \sqrt[3]{a \cdot (a^{5/2})^{1/3}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{5/6}} = \sqrt[3]{a^{1+5/6}} = \sqrt[3]{a^{11/6}} = (a^{11/6})^{1/3} = a^{11/18} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \sqrt{a}}} = \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a^{3/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot (a^{3/2})^{1/3}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{5/2}} = (a^{5/2})^{1/4} = a^{5/8} $.

Теперь перемножим результаты:

$ a^{11/18} \cdot a^{5/8} = a^{11/18 + 5/8} $.

Приведем дроби к общему знаменателю 72: $ \frac{11}{18} = \frac{44}{72} $ и $ \frac{5}{8} = \frac{45}{72} $.

$ a^{44/72 + 45/72} = a^{89/72} $.

Представим результат в виде корня:

$ a^{89/72} = a^{1 + 17/72} = a \cdot a^{17/72} = a \sqrt[72]{a^{17}} $.

Ответ: $ a \sqrt[72]{a^{17}} $.