Номер 9.12, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.12. Вычислите:

1) $ \sqrt{\frac{67^2 - 58^2}{\sqrt{53^2 - 28^2}}} $;

2) $ \sqrt{\frac{113^2 - 112^2}{19^2 - 11^2}} $;

3) $ \left(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $;

4) $ \left(\sqrt[3]{16} - 2\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{54}\right) \cdot \left(5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) $.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и для выражения под корнем в знаменателе.

Сначала преобразуем числитель:

$67^2 - 58^2 = (67 - 58)(67 + 58) = 9 \cdot 125$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$\sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{(53 - 28)(53 + 28)} = \sqrt{25 \cdot 81} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{9 \cdot 125}{45} = \frac{9 \cdot 125}{9 \cdot 5} = \frac{125}{5} = 25$.

Ответ: 25

2) В этом примере также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем выражение под корнем в числителе:

$\sqrt{113^2 - 112^2} = \sqrt{(113 - 112)(113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225} = 15$.

Преобразуем знаменатель:

$19^2 - 11^2 = (19 - 11)(19 + 11) = 8 \cdot 30 = 240$.

Получаем дробь:

$\frac{15}{240}$.

Сократим ее:

$\frac{15}{240} = \frac{15}{15 \cdot 16} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

3) Для решения этого примера упростим выражения в скобках, приводя все корни к $\sqrt{6}$.

Упростим члены в первой скобке:

$3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Теперь подставим упрощенные значения в первую скобку:

$(\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6}) = (1 - 2 + 1)\sqrt{6} = 0 \cdot \sqrt{6} = 0$.

Так как первая скобка (один из множителей) равна нулю, то все произведение равно нулю, вне зависимости от значения второй скобки.

$(0) \cdot (2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}) = 0$.

Ответ: 0

4) Упростим выражения в каждой скобке, вынося множители из-под знака кубического корня.

Упростим первую скобку. Для этого приведем все корни к $\sqrt[3]{2}$:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.

$4\sqrt[3]{54} = 4\sqrt[3]{27 \cdot 2} = 4 \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 4 \cdot 3\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Выражение в первой скобке: $(2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2}) = (2 - 2 + 12)\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Теперь упростим вторую скобку. Приведем все корни к $\sqrt[3]{4}$:

$3\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$.

Выражение во второй скобке: $(5\sqrt[3]{4} - \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}) = (5 - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = (\frac{10}{2} - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{4}$.

Осталось перемножить результаты:

$(12\sqrt[3]{2}) \cdot (\frac{7}{2}\sqrt[3]{4}) = (12 \cdot \frac{7}{2}) \cdot (\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}) = (6 \cdot 7) \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 4} = 42 \cdot \sqrt[3]{8} = 42 \cdot 2 = 84$.

Ответ: 84