Номер 9.9, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.9. Докажите равенство:

1) $(2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63})^2 - 60\sqrt[3]{1000} = 100;$

2) $\frac{1}{3} (2\sqrt{150} + 3\sqrt{24} - 5\sqrt{54})^2 + 15\sqrt[3]{625} = 77;$

3) $(\sqrt[6]{5} + 2\sqrt{6} + \sqrt[3]{\sqrt{3}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}} - \sqrt{3} = -2;$

4) $\sqrt{20.25} + \sqrt[3]{24} - \sqrt[4]{0.1296} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{375} + \frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = 4.4.$

1) Для доказательства равенства преобразуем левую часть выражения.

Сначала упростим выражения под корнями в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Также упростим второе слагаемое:

$60\sqrt[3]{1000} = 60 \cdot 10 = 600$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2 \cdot 5\sqrt{7} - 3 \cdot 2\sqrt{7} + 2 \cdot 3\sqrt{7})^2 - 600 = (10\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7})^2 - 600$

Выполним действия в скобках:

$(10\sqrt{7})^2 - 600 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 600 = 100 \cdot 7 - 600 = 700 - 600 = 100$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна $100$, что соответствует правой части равенства.

$100 = 100$

Ответ: Равенство доказано.

2) Преобразуем левую часть выражения, чтобы доказать равенство.

Упростим подкоренные выражения в скобках:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Упростим второе слагаемое:

$15\sqrt[4]{625} = 15 \cdot \sqrt[4]{5^4} = 15 \cdot 5 = 75$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{1}{3}(2 \cdot 5\sqrt{6} + 3 \cdot 2\sqrt{6} - 5 \cdot 3\sqrt{6})^2 + 75 = \frac{1}{3}(10\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 15\sqrt{6})^2 + 75$

Выполним действия в скобках:

$\frac{1}{3}(16\sqrt{6} - 15\sqrt{6})^2 + 75 = \frac{1}{3}(\sqrt{6})^2 + 75$

Завершим вычисления:

$\frac{1}{3} \cdot 6 + 75 = 2 + 75 = 77$

Левая часть равна $77$, что доказывает равенство.

$77 = 77$

Ответ: Равенство доказано.

3) Для доказательства равенства преобразуем левую часть выражения.

Рассмотрим первый член в скобках: $\sqrt[6]{5+2\sqrt{6}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $5+2\sqrt{6}$ можно представить в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

Если $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2 = 3+2=5$ и $2ab = 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.

Следовательно, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt[6]{5+2\sqrt{6}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2/6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = 2\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Объединим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ для выражения под корнем:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt[3]{2-3} = 2\sqrt[3]{-1}$

Так как $\sqrt[3]{-1} = -1$, получаем:

$2 \cdot (-1) = -2$

Левая часть равна $-2$, что доказывает равенство.

$-2 = -2$

Ответ: Равенство доказано.

4) Вычислим значение левой части выражения, чтобы доказать равенство.

Вычислим каждый член по отдельности:

1. $\sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{45}{10} = 4,5$.

2. $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

3. $\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

4. $-\frac{2}{5}\sqrt[3]{375} = -\frac{2}{5}\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -\frac{2}{5} \cdot 5\sqrt[3]{3} = -2\sqrt[3]{3}$.

5. $\frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь сложим все полученные значения:

$4,5 + 2\sqrt[3]{3} - 0,6 - 2\sqrt[3]{3} + 0,5$

Слагаемые с $\sqrt[3]{3}$ взаимно уничтожаются:

$4,5 - 0,6 + 0,5 = 3,9 + 0,5 = 4,4$

Результат вычислений левой части равен $4,4$, что соответствует правой части.

$4,4 = 4,4$

Ответ: Равенство доказано.