Номер 9.2, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.2. Вычислите значение числового выражения:

1) $\sqrt{\frac{49}{225}}$;

2) $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$;

3) $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5\frac{1}{16}}$;

4) $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{\frac{49}{225}}$, используем свойство корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Применим это свойство: $\sqrt{\frac{49}{225}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{225}}$. Поскольку $49 = 7^2$ и $225 = 15^2$, то $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{225} = 15$. Таким образом, получаем результат: $\frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$.

2) Для выражения $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$ воспользуемся свойствами корня из дроби и корня из произведения: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Объединив их, получаем: $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{343}}$. Вычислим значения корней: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3=8$; $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$; $\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3=343$. Подставим найденные значения в выражение: $\frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{7}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5\frac{1}{16}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80+1}{16} = \frac{81}{16}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot \frac{81}{16}}$. Перемножим дроби под корнем: $\sqrt[4]{\frac{1 \cdot 81}{625 \cdot 16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}}$. Теперь, используя свойство корня из дроби, получаем $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$. Найдём значения корней: $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4=81$; $\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4=10000$. В результате получаем $\frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

4) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$ используем свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применив это свойство, получаем: $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{486}{2}}$. Выполним деление под знаком корня: $\frac{486}{2} = 243$. Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt[5]{243}$. Найдём число, пятая степень которого равна 243. Поскольку $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$, то $\sqrt[5]{243} = 3$.

Ответ: $3$.