Страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие значения могут принимать подкоренные выражения? Приведите примеры.

2. Всегда ли можно извлечь корень $n$-й степени из любого действительного числа? Ответ обоснуйте.

1. Какие значения могут принимать подкоренные выражения? Приведите примеры.

Значения, которые может принимать подкоренное выражение (или радикал), зависят от показателя корня $n$.

Если показатель корня — четное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, для корня $\sqrt[n]{a}$, где $n$ — четное, должно выполняться условие $a \ge 0$. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат.

Примеры: В выражении $\sqrt{16}$ подкоренное выражение равно $16$ ($16 > 0$). В выражении $\sqrt[4]{81}$ подкоренное выражение равно $81$ ($81 > 0$). Выражение $\sqrt{-4}$ не имеет смысла в множестве действительных чисел, так как его подкоренное выражение отрицательно.

Если показатель корня — нечетное число (например, $n=3, 5, 7, \dots$), то подкоренное выражение может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или равным нулю.

Примеры: В выражении $\sqrt[3]{-8}$ подкоренное выражение равно $-8$. Это допустимо, так как $(-2)^3 = -8$. В выражении $\sqrt[5]{32}$ подкоренное выражение равно $32$.

Ответ: Если показатель корня четный, подкоренное выражение может быть любым неотрицательным числом ($a \ge 0$). Если показатель корня нечетный, подкоренное выражение может быть любым действительным числом.

2. Всегда ли можно извлечь корень n-й степени из любого действительного числа? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Возможность извлечения корня $n$-й степени из действительного числа зависит от четности показателя $n$.

1. Если $n$ — четное натуральное число ($n=2k$, где $k \in N$).

Корень $n$-й степени можно извлечь только из неотрицательного действительного числа. Это следует из определения арифметического корня. По определению, $\sqrt[2k]{a} = x$ означает, что $x^{2k} = a$ и $x \ge 0$. Поскольку любое действительное число $x$ в четной степени $2k$ дает неотрицательный результат ($x^{2k} \ge 0$), то и подкоренное выражение $a$ не может быть отрицательным.

Пример: Нельзя извлечь корень четвертой степени из числа $-16$ в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа $x$, для которого $x^4 = -16$.

2. Если $n$ — нечетное натуральное число, большее единицы ($n=2k+1$, где $k \in N$).

Корень $n$-й степени можно извлечь из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля). Для любого действительного числа $a$ уравнение $x^n = a$ при нечетном $n$ имеет единственный действительный корень.

Пример: Можно извлечь корень третьей степени из $-27$, так как существует число $-3$, такое что $(-3)^3 = -27$. Таким образом, $\sqrt[3]{-27} = -3$.

Ответ: Нет, не всегда. Корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Корень нечетной степени можно извлечь из любого действительного числа.

9.1. Найдите корень из произведения:

1) $\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100}$;

2) $\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125}$;

3) $\sqrt{a^4 \cdot b^2 \cdot c^6}$;

4) $\sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4}$.

1) Для нахождения корня из произведения воспользуемся свойством корня: корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя. Это свойство записывается формулой $ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $ (для неотрицательных $a$ и $b$, если $n$ — четное число).

$ \sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} $

Вычислим каждый квадратный корень отдельно:

$ \sqrt{49} = 7 $

$ \sqrt{64} = 8 $

$ \sqrt{100} = 10 $

Теперь перемножим полученные значения:

$ 7 \cdot 8 \cdot 10 = 56 \cdot 10 = 560 $

Ответ: $560$.

2) Используем то же свойство корня из произведения для кубического корня:

$ \sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125} $

Вычислим каждый кубический корень, представив подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 $

$ \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3 $

$ \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5 $

Перемножим результаты:

$ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 $

Ответ: $30$.

3) Применим свойство корня из произведения и свойство корня из степени $ \sqrt[n]{x^k} = |x^{\frac{k}{n}}| $ для четного $n$. При извлечении корня четной степени, результат должен быть неотрицательным. Поэтому, если в результате извлечения корня переменная оказывается в нечетной степени, необходимо использовать знак модуля.

$ \sqrt{a^4 \cdot b^2 \cdot c^6} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{c^6} $

Упростим каждый множитель:

$ \sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2 $ (поскольку $ a^2 $ всегда неотрицательно)

$ \sqrt{b^2} = |b| $

$ \sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3| $

Объединяем результаты: $ a^2 \cdot |b| \cdot |c^3| $

Ответ: $a^2|b||c^3|$.

4) Используем те же свойства, что и в предыдущем примере, для корня четвертой степени (четная степень).

$ \sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4} = \sqrt[4]{m^8} \cdot \sqrt[4]{k^{12}} \cdot \sqrt[4]{t^4} $

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \sqrt[4]{m^8} = \sqrt[4]{(m^2)^4} = |m^2| = m^2 $ (поскольку $ m^2 $ всегда неотрицательно)

$ \sqrt[4]{k^{12}} = \sqrt[4]{(k^3)^4} = |k^3| $

$ \sqrt[4]{t^4} = |t| $

Объединяем результаты: $ m^2 \cdot |k^3| \cdot |t| $

Ответ: $m^2|k^3||t|$.

9.2. Вычислите значение числового выражения:

1) $\sqrt{\frac{49}{225}}$;

2) $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$;

3) $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5\frac{1}{16}}$;

4) $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{\frac{49}{225}}$, используем свойство корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен частному корней из числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Применим это свойство: $\sqrt{\frac{49}{225}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{225}}$. Поскольку $49 = 7^2$ и $225 = 15^2$, то $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{225} = 15$. Таким образом, получаем результат: $\frac{7}{15}$.

Ответ: $\frac{7}{15}$.

2) Для выражения $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$ воспользуемся свойствами корня из дроби и корня из произведения: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Объединив их, получаем: $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{343}}$. Вычислим значения корней: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3=8$; $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3=125$; $\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3=343$. Подставим найденные значения в выражение: $\frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7}$.

Ответ: $\frac{10}{7}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5\frac{1}{16}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80+1}{16} = \frac{81}{16}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot \frac{81}{16}}$. Перемножим дроби под корнем: $\sqrt[4]{\frac{1 \cdot 81}{625 \cdot 16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}}$. Теперь, используя свойство корня из дроби, получаем $\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$. Найдём значения корней: $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4=81$; $\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4=10000$. В результате получаем $\frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

4) Для вычисления выражения $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$ используем свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. Применив это свойство, получаем: $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{486}{2}}$. Выполним деление под знаком корня: $\frac{486}{2} = 243$. Теперь задача сводится к вычислению $\sqrt[5]{243}$. Найдём число, пятая степень которого равна 243. Поскольку $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$, то $\sqrt[5]{243} = 3$.

Ответ: $3$.

9.3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{32 \cdot a^{10}}$ ;

2) $\sqrt[6]{128 \cdot a^{12} b^{18} c^{6}}$ ;

3) $\sqrt[3]{64 \cdot m^{6} n^{9} p^{3}}$ ;

4) $\sqrt[4]{\frac{16}{81} x^{8} y^{12}}$ .

1) Для упрощения выражения $ \sqrt[5]{32 \cdot a^{10}} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} $.

$ \sqrt[5]{32 \cdot a^{10}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^{10}} $.

Теперь извлечем корень из каждого множителя. Так как степень корня (5) нечетная, знак модуля не используется.

Найдем корень пятой степени из 32. Поскольку $ 2^5 = 32 $, то $ \sqrt[5]{32} = 2 $.

Найдем корень пятой степени из $ a^{10} $. Используя свойство $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $, получаем: $ \sqrt[5]{a^{10}} = a^{\frac{10}{5}} = a^2 $.

Перемножим полученные результаты: $ 2 \cdot a^2 = 2a^2 $.

Ответ: $ 2a^2 $.

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[6]{128 \cdot a^{12} b^{18} c^{6}} $ разложим подкоренное выражение на множители.

Число 128 можно представить как $ 64 \cdot 2 = 2^6 \cdot 2 $.

Выражение можно переписать так: $ \sqrt[6]{2^6 \cdot 2 \cdot a^{12} \cdot b^{18} \cdot c^{6}} $.

Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под знака корня:

$ \sqrt[6]{2^6 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{2} $.

При извлечении корня четной степени (6) из выражения в такой же степени используется правило $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $ n $.

$ \sqrt[6]{2^6} = |2| = 2 $.

$ \sqrt[6]{(a^2)^6} = |a^2| = a^2 $, так как $ a^2 $ всегда неотрицательно.

$ \sqrt[6]{(b^3)^6} = |b^3| $.

$ \sqrt[6]{c^6} = |c| $.

Множитель 2 остается под корнем, так как его степень (1) меньше степени корня (6).

Собираем все вместе: $ 2 \cdot a^2 \cdot |b^3| \cdot |c| \cdot \sqrt[6]{2} = 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2} $.

Ответ: $ 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2} $.

3) Упростим выражение $ \sqrt[3]{64 \cdot m^6 n^9 p^3} $.

Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \cdot \sqrt[n]{z} $.

$ \sqrt[3]{64 \cdot m^6 n^9 p^3} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{m^6} \cdot \sqrt[3]{n^9} \cdot \sqrt[3]{p^3} $.

Вычислим каждый корень отдельно, используя свойство $ \sqrt[n]{x^k} = x^{k/n} $. Для нечетной степени корня (3) знак модуля не требуется.

$ \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4 $.

$ \sqrt[3]{m^6} = m^{6/3} = m^2 $.

$ \sqrt[3]{n^9} = n^{9/3} = n^3 $.

$ \sqrt[3]{p^3} = p^{3/3} = p $.

Объединяем результаты, перемножая их: $ 4 \cdot m^2 \cdot n^3 \cdot p = 4m^2n^3p $.

Ответ: $ 4m^2n^3p $.

4) Упростим выражение $ \sqrt[4]{\frac{16}{81} x^8 y^{12}} $.

Воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} $ и корня из произведения.

$ \sqrt[4]{\frac{16 x^8 y^{12}}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12}}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{y^{12}}}{\sqrt[4]{81}} $.

Вычислим корни из числителя и знаменателя. Так как корень четной степени (4), при извлечении корня из четной степени используем правило $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $.

В знаменателе: $ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $.

В числителе:

$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $.

$ \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2 $, так как $ x^2 $ всегда неотрицательно.

$ \sqrt[4]{y^{12}} = \sqrt[4]{(y^3)^4} = |y^3| $.

Собираем все части вместе: $ \frac{2 \cdot x^2 \cdot |y^3|}{3} $.

Это можно записать в виде $ \frac{2}{3}x^2|y^3| $.

Ответ: $ \frac{2}{3}x^2|y^3| $.

9.4. Упростите:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{3}}$ ;

2) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{4}}$ ;

3) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{7}}$ ;

4) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ ;

5) $\sqrt{a\sqrt{a}}$ ;

6) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ ;

7) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$ ;

8) $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ .

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt{3}}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. В данном случае, оба корня квадратные, то есть их показатели равны 2.

$\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3}$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$ применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. Здесь показатель внешнего корня равен 2, а внутреннего — 3.

$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.

Заметим, что подкоренное выражение можно упростить, так как $4 = 2^2$.

$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = 2^\frac{2}{6} = 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{7}}$, используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. Показатель внешнего корня — 3, внутреннего — 2.

$\sqrt[3]{\sqrt{7}} = \sqrt[3 \cdot 2]{7} = \sqrt[6]{7}$.

Ответ: $\sqrt[6]{7}$.

4) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ применим то же свойство корней.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}} = \sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$.

Ответ: $\sqrt[15]{11}$.

5) Чтобы упростить выражение $\sqrt{a\sqrt{a}}$, сначала внесем множитель $a$ под внутренний корень. При внесении под квадратный корень множитель возводится в квадрат (при условии $a \ge 0$).

$\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} = \sqrt{\sqrt{a^3}}$.

Теперь применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$:

$\sqrt{\sqrt{a^3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$.

6) Упростим выражение $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ по свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^5} = \sqrt[12]{a^5}$.

Ответ: $\sqrt[12]{a^5}$.

7) Упростим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$, используя свойство вложенных корней.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}} = \sqrt[5 \cdot 3]{mn} = \sqrt[15]{mn}$.

Ответ: $\sqrt[15]{mn}$.

8) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}} = \sqrt[3 \cdot 2]{\frac{a}{b}} = \sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.

Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.