Страница 70 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. По вариационному ряду относительных частот найдите среднее значение:

X: 2, 4, 5, 7, 8

$n_i/n$: 0,1, 0,3, 0,3, 0,2, 0,1

A) 5,2; B) 4,95; C) 5,1; D) 5,3; E) 5,15.

Для нахождения среднего значения по вариационному ряду относительных частот необходимо вычислить взвешенную сумму всех значений $X$, где весами выступают соответствующие им относительные частоты $\frac{n_i}{n}$.

Среднее значение, или выборочное среднее, $\bar{X}$ вычисляется по формуле:

$\bar{X} = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot w_i$

где $x_i$ — это значения вариант из вариационного ряда, а $w_i$ — это их относительные частоты.

Подставим данные из таблицы в формулу:

$\bar{X} = (2 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,3) + (5 \cdot 0,3) + (7 \cdot 0,2) + (8 \cdot 0,1)$

Выполним вычисления для каждого слагаемого:

$2 \cdot 0,1 = 0,2$

$4 \cdot 0,3 = 1,2$

$5 \cdot 0,3 = 1,5$

$7 \cdot 0,2 = 1,4$

$8 \cdot 0,1 = 0,8$

Теперь сложим полученные результаты:

$\bar{X} = 0,2 + 1,2 + 1,5 + 1,4 + 0,8 = 5,1$

Таким образом, среднее значение для данного вариационного ряда равно 5,1. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: 5,1.

3. По вариационному ряду относительных частот найдите дисперсию:

X 2 4 6 8 10

$n_i/n$ 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

A) 5,3;

B) 4,9;

C) 5,1;

D) 4,6;

E) 4,8.

Для нахождения дисперсии $D(X)$ по вариационному ряду относительных частот используется формула: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X)$ — математическое ожидание (среднее значение), а $M(X^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Шаг 1: Вычисление математического ожидания $M(X)$

Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений случайной величины $x_i$ на их относительные частоты $w_i$.

$M(X) = \sum x_i \cdot w_i = (2 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,2) + (6 \cdot 0,4) + (8 \cdot 0,2) + (10 \cdot 0,1)$

$M(X) = 0,2 + 0,8 + 2,4 + 1,6 + 1,0 = 6,0$

Шаг 2: Вычисление математического ожидания квадрата $M(X^2)$

Это значение вычисляется как сумма произведений квадратов значений $x_i^2$ на соответствующие относительные частоты $w_i$.

$M(X^2) = \sum x_i^2 \cdot w_i = (2^2 \cdot 0,1) + (4^2 \cdot 0,2) + (6^2 \cdot 0,4) + (8^2 \cdot 0,2) + (10^2 \cdot 0,1)$

$M(X^2) = (4 \cdot 0,1) + (16 \cdot 0,2) + (36 \cdot 0,4) + (64 \cdot 0,2) + (100 \cdot 0,1)$

$M(X^2) = 0,4 + 3,2 + 14,4 + 12,8 + 10,0 = 40,8$

Шаг 3: Вычисление дисперсии $D(X)$

Подставляем найденные значения $M(X)$ и $M(X^2)$ в формулу для дисперсии:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 40,8 - 6,0^2 = 40,8 - 36 = 4,8$

Полученное значение дисперсии равно 4,8. Это соответствует варианту E).

Ответ: 4,8.

4. По вариационному ряду относительных частот задания 3 найдите среднее квадратическое отклонение:

A) 2,292; B) 2,191; C) 2,189; D) 2,176; E) 2,138.

Для решения данной задачи необходимо использовать вариационный ряд относительных частот из задания 3, который в тексте вопроса отсутствует. Без этих исходных данных дать точный численный ответ и выбрать один из предложенных вариантов невозможно. Ниже приводится подробный алгоритм, по которому вы сможете решить задачу, имея на руках данные из задания 3.

Вариационный ряд относительных частот обычно представлен в виде таблицы, где каждому значению (варианте) $x_i$ соответствует его относительная частота $w_i$. Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 ($\sum w_i = 1$).

Шаг 1: Нахождение выборочной средней (математического ожидания)

Выборочная средняя (или взвешенное среднее) $\bar{x}$ для вариационного ряда относительных частот вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot w_i$

где $x_i$ – это значения вариант, $w_i$ – соответствующие им относительные частоты, а $k$ – количество различных вариант в ряду. Необходимо перемножить каждую варианту на ее относительную частоту и сложить полученные произведения.

Шаг 2: Нахождение выборочной дисперсии

Дисперсия $D$ характеризует разброс значений вокруг выборочной средней. Для вариационного ряда относительных частот ее удобно вычислять по формуле:

$D = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 \cdot w_i - (\bar{x})^2$

Для этого нужно:

1. Каждую варианту $x_i$ возвести в квадрат.

2. Умножить каждый полученный квадрат $x_i^2$ на соответствующую относительную частоту $w_i$.

3. Сложить все полученные произведения, чтобы найти $\sum x_i^2 \cdot w_i$.

4. Из полученной суммы вычесть квадрат выборочной средней $(\bar{x})^2$, найденной на первом шаге.

Шаг 3: Нахождение среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение $\sigma$ (также называемое стандартным отклонением) – это корень квадратный из дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем данные отклоняются от своего среднего значения.

$\sigma = \sqrt{D}$

Вычислив значение $\sigma$ по этой формуле, вы получите искомое среднее квадратическое отклонение. Сравнив результат с предложенными вариантами, вы сможете выбрать правильный ответ.

Ответ: Для получения окончательного численного ответа необходимо применить данный алгоритм к вариационному ряду из задания 3. Без этих данных выбрать правильный вариант из предложенных невозможно.