Страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.5. После урока по теме “Элементы математической статистики” на до-ске остался ответ “среднее значение равно 9” и таблица 17.3.

Таблица 17.3

1) Найдите число $x$;

2) найдите размах, объем выборки, моду и медиану распределения;

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

4) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1) Найдите число x;

Среднее значение выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле взвешенного среднего: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$, где $x_i$ — это варианты, а $n_i$ — их кратности (частоты). По условию задачи, среднее значение равно 9. В таблице представлены варианты 4, 8, 12 с кратностями 5, 2 и $x$ соответственно.

Подставим известные значения в формулу:

$9 = \frac{4 \cdot 5 + 8 \cdot 2 + 12 \cdot x}{5 + 2 + x}$

Упростим выражение в числителе и знаменателе:

$9 = \frac{20 + 16 + 12x}{7 + x}$

$9 = \frac{36 + 12x}{7 + x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$9 \cdot (7 + x) = 36 + 12x$

$63 + 9x = 36 + 12x$

$12x - 9x = 63 - 36$

$3x = 27$

$x = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: $x=9$.

2) найдите размах, объем выборки, моду и медиану распределения;

Теперь, когда мы знаем, что $x=9$, мы можем найти требуемые статистические характеристики. Исходные данные для расчетов: варианты 4, 8, 12 с кратностями 5, 2, 9.

Объем выборки ($n$) — это сумма всех кратностей:

$n = 5 + 2 + 9 = 16$

Размах ($R$) — это разность между максимальной и минимальной вариантой:

$R = x_{max} - x_{min} = 12 - 4 = 8$

Мода ($Mo$) — это варианта с наибольшей кратностью. Кратности равны 5, 2 и 9. Наибольшая кратность 9 соответствует варианте 12.

$Mo = 12$

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Поскольку объем выборки $n=16$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов на 8-й ($16/2$) и 9-й ($16/2+1$) позициях. Посчитаем накопленные частоты: для варианты 4 — 5; для варианты 8 — $5+2=7$; для варианты 12 — $7+9=16$. Это означает, что первые 5 элементов равны 4, 6-й и 7-й элементы равны 8, а с 8-го по 16-й элементы равны 12. Следовательно, 8-й и 9-й элементы оба равны 12.

$Me = \frac{12 + 12}{2} = 12$

Ответ: размах равен 8, объем выборки равен 16, мода равна 12, медиана равна 12.

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

Относительная частота ($W_i$) для каждой варианты вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — кратность варианты, а $n$ — объем выборки ($n=16$).

Для варианты 4: $W_1 = \frac{5}{16}$

Для варианты 8: $W_2 = \frac{2}{16}$

Для варианты 12: $W_3 = \frac{9}{16}$

Сумма относительных частот: $\frac{5}{16} + \frac{2}{16} + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} = 1$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: вариационный ряд относительных частот: для варианты 4 – $5/16$; для варианты 8 – $2/16$; для варианты 12 – $9/16$.

4) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных вокруг среднего значения. Её удобно вычислить по формуле $D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — среднее значение, а $\overline{x^2}$ — среднее значение квадратов вариант.

Из условия мы знаем, что $\bar{x} = 9$. Найдем $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} = \frac{4^2 \cdot 5 + 8^2 \cdot 2 + 12^2 \cdot 9}{16}$

$\overline{x^2} = \frac{16 \cdot 5 + 64 \cdot 2 + 144 \cdot 9}{16} = \frac{80 + 128 + 1296}{16} = \frac{1504}{16} = 94$

Теперь вычислим дисперсию:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 94 - 9^2 = 94 - 81 = 13$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{13}$

Ответ: дисперсия равна 13, среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{13}$.

8.6. Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант (табл. 17.4):

Таблица 17.4

Для нахождения выборочной дисперсии и выборочного среднего квадратического отклонения для интервального ряда данных, необходимо сначала преобразовать его в дискретный вариационный ряд. Для этого каждый интервал заменяется его серединой $x_i$, которая будет представлять все значения внутри данного интервала.

1. Определение середин интервалов ($x_i$):

Для интервала $[0; 6)$: $x_1 = \frac{0+6}{2} = 3$

Для интервала $[6; 12)$: $x_2 = \frac{6+12}{2} = 9$

Для интервала $[12; 18)$: $x_3 = \frac{12+18}{2} = 15$

Для интервала $[18; 24]$: $x_4 = \frac{18+24}{2} = 21$

2. Определение объема выборки ($n$):

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот $n_i$ (вторая строка таблицы):

$n = \sum n_i = 4 + 6 + 6 + 4 = 20$.

Это также можно проверить по данным относительных частот: $\sum \frac{n_i}{n} = 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 1,0$.

3. Расчет выборочного среднего ($\bar{x}_в$):

Выборочное среднее (среднее арифметическое взвешенное) вычисляется по формуле:

$\bar{x}_в = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$

Подставим наши значения:

$\bar{x}_в = \frac{1}{20} (4 \cdot 3 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 15 + 4 \cdot 21) = \frac{1}{20} (12 + 54 + 90 + 84) = \frac{240}{20} = 12$.

Таким образом, выборочное среднее равно 12.

Теперь мы можем перейти к вычислению искомых величин.

Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия ($D_в$) — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений вариант от выборочного среднего. Формула для ее расчета:

$D_в = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x}_в)^2$

Подставим наши данные в формулу:

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot (3 - 12)^2 + 6 \cdot (9 - 12)^2 + 6 \cdot (15 - 12)^2 + 4 \cdot (21 - 12)^2)$

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot (-9)^2 + 6 \cdot (-3)^2 + 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 9^2)$

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot 81 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 81) = \frac{1}{20} (324 + 54 + 54 + 324) = \frac{756}{20} = 37,8$.

Для проверки можно использовать альтернативную формулу для вычислений:

$D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2 = (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2) - (\bar{x}_в)^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов вариант $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{1}{20} (4 \cdot 3^2 + 6 \cdot 9^2 + 6 \cdot 15^2 + 4 \cdot 21^2) = \frac{1}{20} (4 \cdot 9 + 6 \cdot 81 + 6 \cdot 225 + 4 \cdot 441)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20} (36 + 486 + 1350 + 1764) = \frac{3636}{20} = 181,8$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D_в = 181,8 - 12^2 = 181,8 - 144 = 37,8$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $D_в = 37,8$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$) — это квадратный корень из выборочной дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения выборки отклоняются от среднего значения.

$\sigma_в = \sqrt{D_в}$

$\sigma_в = \sqrt{37,8} \approx 6,14817...$

Округляя результат до двух знаков после запятой, получаем:

$\sigma_в \approx 6,15$.

Ответ: $\sigma_в \approx 6,15$.

8.7. В таблице приведены сведения об активах 25 некоторых фирм РК (в млрд. тг) (табл. 17.5):

Таблица 17.5

54,2 55,2 64,7 90,0 85,3

74,0 85,4 75,3 68,4 78,4

82,3 40,0 64,9 48,8 68,9

58,4 65,2 54,6 80,0 45,3

64,0 75,8 77,4 63,2 75,2

Постройте интервальный вариационный ряд распределения активов фирм, по размеру активов, выделив 5 групп с равными интервалами.

1) Напишите вариационный ряд относительных частот.

2) Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант.

Для построения интервального вариационного ряда необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти минимальное и максимальное значения в выборке.

Объем выборки $n = 25$.

Минимальное значение: $x_{min} = 40,0$.

Максимальное значение: $x_{max} = 90,0$.

2. Определить размах варьирования:

$R = x_{max} - x_{min} = 90,0 - 40,0 = 50,0$.

3. Определить величину интервала. По условию, необходимо выделить 5 групп ($k=5$).

Величина интервала: $h = R / k = 50,0 / 5 = 10,0$.

4. Построить интервалы и подсчитать частоты (количество значений, попавших в каждый интервал).

Интервал 1: $[40, 50)$. Значения: 40.0, 48.8, 45.3. Частота $n_1 = 3$.

Интервал 2: $[50, 60)$. Значения: 54.2, 55.2, 58.4, 54.6. Частота $n_2 = 4$.

Интервал 3: $[60, 70)$. Значения: 64.7, 68.4, 64.9, 68.9, 65.2, 64.0, 63.2. Частота $n_3 = 7$.

Интервал 4: $[70, 80)$. Значения: 74.0, 75.3, 78.4, 75.8, 77.4, 75.2. Частота $n_4 = 6$.

Интервал 5: $[80, 90]$. Значения: 90.0, 85.3, 85.4, 82.3, 80.0. Частота $n_5 = 5$.

Проверка: $\sum n_i = 3 + 4 + 7 + 6 + 5 = 25 = n$.

5. Найти середины интервалов ($x_i^*$) и относительные частоты ($w_i = n_i / n$).

Результаты сведем в таблицу:

1) Напишите вариационный ряд относительных частот.

Вариационный ряд относительных частот представляет собой таблицу, в которой каждому интервалу сопоставлена его относительная частота.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

2) Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант.

Для расчета статистических показателей по интервальному ряду используются середины интервалов $x_i^*$ в качестве значений вариант.

Сначала найдем выборочное среднее ($\bar{x_в}$) по формуле:

$\bar{x_в} = \sum_{i=1}^{k} x_i^* w_i$

$\bar{x_в} = 45 \cdot 0,12 + 55 \cdot 0,16 + 65 \cdot 0,28 + 75 \cdot 0,24 + 85 \cdot 0,20$

$\bar{x_в} = 5,4 + 8,8 + 18,2 + 18,0 + 17,0 = 67,4$

Теперь найдем выборочную дисперсию ($D_в$ или $s^2$). Для несмещенной оценки выборочной дисперсии по сгруппированным данным используется формула:

$D_в = s^2 = \frac{n}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 w_i - (\bar{x_в})^2 \right)$

Вычислим $\sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 w_i$:

$\sum (x_i^*)^2 w_i = (45^2 \cdot 0,12) + (55^2 \cdot 0,16) + (65^2 \cdot 0,28) + (75^2 \cdot 0,24) + (85^2 \cdot 0,20)$

$\sum (x_i^*)^2 w_i = (2025 \cdot 0,12) + (3025 \cdot 0,16) + (4225 \cdot 0,28) + (5625 \cdot 0,24) + (7225 \cdot 0,20)$

$\sum (x_i^*)^2 w_i = 243 + 484 + 1183 + 1350 + 1445 = 4705$

Подставляем найденные значения в формулу дисперсии:

$D_в = \frac{25}{25-1} \left( 4705 - (67,4)^2 \right) = \frac{25}{24} (4705 - 4542,76) = \frac{25}{24} \cdot 162,24 \approx 1,04167 \cdot 162,24 \approx 169,0$

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$ или $s$) равно квадратному корню из выборочной дисперсии:

$\sigma_в = s = \sqrt{D_в} = \sqrt{169,0} = 13,0$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_в \approx 169,0$ (млрд. тг)$^2$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_в = 13,0$ млрд. тг.