Номер 8.7, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.7. В таблице приведены сведения об активах 25 некоторых фирм РК (в млрд. тг) (табл. 17.5):

Таблица 17.5

54,2 55,2 64,7 90,0 85,3

74,0 85,4 75,3 68,4 78,4

82,3 40,0 64,9 48,8 68,9

58,4 65,2 54,6 80,0 45,3

64,0 75,8 77,4 63,2 75,2

Постройте интервальный вариационный ряд распределения активов фирм, по размеру активов, выделив 5 групп с равными интервалами.

1) Напишите вариационный ряд относительных частот.

2) Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант.

Для построения интервального вариационного ряда необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти минимальное и максимальное значения в выборке.

Объем выборки $n = 25$.

Минимальное значение: $x_{min} = 40,0$.

Максимальное значение: $x_{max} = 90,0$.

2. Определить размах варьирования:

$R = x_{max} - x_{min} = 90,0 - 40,0 = 50,0$.

3. Определить величину интервала. По условию, необходимо выделить 5 групп ($k=5$).

Величина интервала: $h = R / k = 50,0 / 5 = 10,0$.

4. Построить интервалы и подсчитать частоты (количество значений, попавших в каждый интервал).

Интервал 1: $[40, 50)$. Значения: 40.0, 48.8, 45.3. Частота $n_1 = 3$.

Интервал 2: $[50, 60)$. Значения: 54.2, 55.2, 58.4, 54.6. Частота $n_2 = 4$.

Интервал 3: $[60, 70)$. Значения: 64.7, 68.4, 64.9, 68.9, 65.2, 64.0, 63.2. Частота $n_3 = 7$.

Интервал 4: $[70, 80)$. Значения: 74.0, 75.3, 78.4, 75.8, 77.4, 75.2. Частота $n_4 = 6$.

Интервал 5: $[80, 90]$. Значения: 90.0, 85.3, 85.4, 82.3, 80.0. Частота $n_5 = 5$.

Проверка: $\sum n_i = 3 + 4 + 7 + 6 + 5 = 25 = n$.

5. Найти середины интервалов ($x_i^*$) и относительные частоты ($w_i = n_i / n$).

Результаты сведем в таблицу:

1) Напишите вариационный ряд относительных частот.

Вариационный ряд относительных частот представляет собой таблицу, в которой каждому интервалу сопоставлена его относительная частота.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

2) Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант.

Для расчета статистических показателей по интервальному ряду используются середины интервалов $x_i^*$ в качестве значений вариант.

Сначала найдем выборочное среднее ($\bar{x_в}$) по формуле:

$\bar{x_в} = \sum_{i=1}^{k} x_i^* w_i$

$\bar{x_в} = 45 \cdot 0,12 + 55 \cdot 0,16 + 65 \cdot 0,28 + 75 \cdot 0,24 + 85 \cdot 0,20$

$\bar{x_в} = 5,4 + 8,8 + 18,2 + 18,0 + 17,0 = 67,4$

Теперь найдем выборочную дисперсию ($D_в$ или $s^2$). Для несмещенной оценки выборочной дисперсии по сгруппированным данным используется формула:

$D_в = s^2 = \frac{n}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 w_i - (\bar{x_в})^2 \right)$

Вычислим $\sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 w_i$:

$\sum (x_i^*)^2 w_i = (45^2 \cdot 0,12) + (55^2 \cdot 0,16) + (65^2 \cdot 0,28) + (75^2 \cdot 0,24) + (85^2 \cdot 0,20)$

$\sum (x_i^*)^2 w_i = (2025 \cdot 0,12) + (3025 \cdot 0,16) + (4225 \cdot 0,28) + (5625 \cdot 0,24) + (7225 \cdot 0,20)$

$\sum (x_i^*)^2 w_i = 243 + 484 + 1183 + 1350 + 1445 = 4705$

Подставляем найденные значения в формулу дисперсии:

$D_в = \frac{25}{25-1} \left( 4705 - (67,4)^2 \right) = \frac{25}{24} (4705 - 4542,76) = \frac{25}{24} \cdot 162,24 \approx 1,04167 \cdot 162,24 \approx 169,0$

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$ или $s$) равно квадратному корню из выборочной дисперсии:

$\sigma_в = s = \sqrt{D_в} = \sqrt{169,0} = 13,0$

Ответ: Выборочная дисперсия $D_в \approx 169,0$ (млрд. тг)$^2$, выборочное среднее квадратическое отклонение $\sigma_в = 13,0$ млрд. тг.