Номер 8.3, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.3. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в задаче не предоставлен числовой ряд (выборка) или закон распределения, для которых нужно найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение, приведем решение на примере гипотетического набора данных.

Пример: Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для числового ряда: 2, 3, 3, 4, 5, 7.

Прежде всего, необходимо вычислить среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) этого ряда. Среднее арифметическое — это сумма всех значений, деленная на их количество ($n$).

$n = 6$

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Дисперсия

Дисперсия ($D$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего арифметического. Формула для вычисления: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

1. Вычислим отклонения каждого значения от среднего ($\bar{x} = 4$):

$2 - 4 = -2$

$3 - 4 = -1$

$3 - 4 = -1$

$4 - 4 = 0$

$5 - 4 = 1$

$7 - 4 = 3$

2. Возведем каждое отклонение в квадрат:

$(-2)^2 = 4$

$(-1)^2 = 1$

$(-1)^2 = 1$

$0^2 = 0$

$1^2 = 1$

$3^2 = 9$

3. Найдем сумму квадратов отклонений:

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9 = 16$.

4. Разделим сумму на количество элементов ($n=6$) для нахождения дисперсии:

$D = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.67$.

Ответ: Дисперсия равна $D = \frac{8}{3}$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это мера разброса данных, равная квадратному корню из дисперсии. Формула: $\sigma = \sqrt{D}$.

Используя найденное значение дисперсии $D = \frac{8}{3}$, вычислим среднее квадратическое отклонение:

$\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sigma = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.63$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение равно $\sigma = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.