Страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

Сходство:

• И выборочная, и исправленная выборочная дисперсии являются мерами разброса (вариативности) данных в выборке. Они показывают, насколько сильно значения в выборке отклоняются от своего среднего значения.
• Обе величины рассчитываются на основе суммы квадратов отклонений каждого значения выборки от выборочного среднего.
• При большом объеме выборки ($n \to \infty$) разница между значениями выборочной и исправленной дисперсии становится пренебрежимо малой, и их значения стремятся друг к другу.

Отличие:

• Основное математическое отличие заключается в знаменателе формулы. Для выборочной дисперсии ($D_в$) сумма квадратов отклонений делится на объем выборки $n$. Для исправленной выборочной дисперсии ($s^2$) — на $n-1$.
• Это различие в знаменателе обусловлено свойствами этих величин как статистических оценок. Выборочная дисперсия ($D_в$) является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это означает, что в среднем она систематически занижает реальную дисперсию в популяции, из которой была взята выборка.
• Исправленная выборочная дисперсия ($s^2$) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Использование знаменателя $n-1$ (так называемая поправка Бесселя) корректирует смещение, и в среднем значение $s^2$ по разным выборкам будет равно истинной дисперсии генеральной совокупности. Поэтому для статистических выводов и оценки параметров популяции всегда используется исправленная дисперсия.
• Как следствие, исправленная дисперсия для любой выборки всегда больше, чем выборочная: $s^2 = D_в \cdot \frac{n}{n-1}$.

Ответ: Сходство заключается в том, что обе величины измеряют разброс данных в выборке относительно среднего. Отличие — в формуле (знаменатели $n$ и $n-1$) и в статистических свойствах: выборочная дисперсия является смещенной оценкой, а исправленная — несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

Выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения (СКО), также известного как стандартное отклонение, напрямую зависит от цели статистического анализа, так как СКО является квадратным корнем из дисперсии.

• Если задача состоит в том, чтобы просто описать имеющуюся выборку, то есть провести описательный анализ, можно использовать СКО, полученное из выборочной (смещенной) дисперсии. Эта величина будет характеризовать разброс данных именно в этой конкретной выборке.
• Если задача состоит в том, чтобы по данным выборки сделать выводы о свойствах всей генеральной совокупности (интервальное оценивание, проверка гипотез), то необходимо использовать СКО, полученное из исправленной (несмещенной) выборочной дисперсии. Это позволяет получить более точную оценку стандартного отклонения генеральной совокупности.

Таким образом, выбор зависит от того, рассматриваем ли мы выборку как самодостаточный набор данных или как представителя более крупной популяции, о которой мы хотим сделать выводы.

Ответ: Выбор формулы для СКО зависит от цели исследования: для описания данных самой выборки используют формулу на основе выборочной дисперсии (со знаменателем $n$), а для оценки параметров генеральной совокупности — на основе исправленной дисперсии (со знаменателем $n-1$).

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Выборочная дисперсия ($D_в$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего значения.

Формула выборочной дисперсии:$D_в = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

где:

• $n$ — объем выборки (количество элементов);
• $x_i$ — $i$-й элемент выборки;
• $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение выборки, которое вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Среднее квадратическое отклонение (или выборочное стандартное отклонение, $\sigma_в$) — это корень квадратный из выборочной дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем значения выборки отклоняются от своего среднего.

Формула среднего квадратического отклонения:

$\sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

Ответ: Формула выборочной дисперсии: $D_в = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma_в = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$.

8.1. 1) Составьте вариационный ряд наблюдений и найдите объем выборки.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Для решения задачи необходимы исходные данные (выборка наблюдений), которые не были предоставлены в вопросе. Ниже приведен подробный пример решения для гипотетической выборки, который вы можете использовать как образец для решения вашей задачи.

Предположим, у нас есть следующая выборка данных (например, оценки студентов за контрольную работу): 5, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4.

1) Составьте вариационный ряд наблюдений и найдите объем выборки.

Вариационный ряд — это упорядоченный по возрастанию (или неубыванию) набор всех наблюдений. Сначала отсортируем наши данные:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5

Объем выборки (обозначается как $n$) — это общее количество наблюдений в выборке. В нашем примере 10 чисел, следовательно, объем выборки $n = 10$.

Для наглядности составим статистический ряд распределения (или ряд частот). В нем для каждого уникального значения (варианты, $x_i$) указывается, сколько раз оно встречается в выборке (частота, $n_i$).

Уникальные значения (варианты): 2, 3, 4, 5.

Подсчитаем их частоты:

Варианта $x_1 = 2$ встречается 1 раз, ее частота $n_1 = 1$.

Варианта $x_2 = 3$ встречается 2 раза, ее частота $n_2 = 2$.

Варианта $x_3 = 4$ встречается 4 раза, ее частота $n_3 = 4$.

Варианта $x_4 = 5$ встречается 3 раза, ее частота $n_4 = 3$.

Проверка: сумма всех частот должна быть равна объему выборки. $1 + 2 + 4 + 3 = 10$. Верно.

Ответ: Вариационный ряд: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5. Объем выборки: 10. Статистический ряд частот: варианта 2 имеет частоту 1; варианта 3 - частоту 2; варианта 4 - частоту 4; варианта 5 - частоту 3.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота (обозначается как $W_i$) показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки. Она рассчитывается по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — частота i-й варианты, а $n$ — объем выборки.

В нашем случае $n = 10$. Рассчитаем относительные частоты для каждой варианты:

Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{1}{10} = 0.1$

Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{2}{10} = 0.2$

Для $x_3 = 4$: $W_3 = \frac{4}{10} = 0.4$

Для $x_4 = 5$: $W_4 = \frac{3}{10} = 0.3$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1. Проверка: $0.1 + 0.2 + 0.4 + 0.3 = 1.0$. Верно.

Вариационный ряд относительных частот представляет собой таблицу, где каждой варианте сопоставлена её относительная частота.

Ответ: Ряд относительных частот: варианта 2 имеет относительную частоту 0.1; варианта 3 - 0.2; варианта 4 - 0.4; варианта 5 - 0.3.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Чтобы получить относительную частоту в процентах, нужно значение относительной частоты умножить на 100%. Формула: $W_i(\%) = W_i \times 100\%$.

Рассчитаем процентные значения для наших данных:

Для $x_1 = 2$: $0.1 \times 100\% = 10\%$

Для $x_2 = 3$: $0.2 \times 100\% = 20\%$

Для $x_3 = 4$: $0.4 \times 100\% = 40\%$

Для $x_4 = 5$: $0.3 \times 100\% = 30\%$

Сумма всех относительных частот в процентах должна быть равна 100%. Проверка: $10\% + 20\% + 40\% + 30\% = 100\%$. Верно.

Вариационный ряд относительных частот в процентах представляет собой таблицу, где каждой варианте сопоставлена её относительная частота в процентах.

Ответ: Ряд относительных частот в процентах: варианта 2 имеет относительную частоту 10%; варианта 3 - 20%; варианта 4 - 40%; варианта 5 - 30%.

8.2. 1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание.

2) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Для решения данной задачи необходимы статистические данные (например, вариационный ряд или таблица частот), которые в вопросе не представлены. Ниже приведено общее решение задачи с использованием гипотетического примера, чтобы продемонстрировать методику.

Предположим, у нас есть следующий дискретный вариационный ряд, где $x_i$ - значение варианты (наблюдаемое значение), а $n_i$ - ее абсолютная частота (сколько раз она встретилась):

Значения $x_i$: 2, 3, 5, 6, 8

Частоты $n_i$: 5, 8, 12, 3, 2

Общий объем выборки $N$ равен сумме всех частот: $N = 5 + 8 + 12 + 3 + 2 = 30$.

1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание.

Мода ($Mo$) — это значение из выборки, которое встречается чаще всего (имеет наибольшую частоту).

В нашем примере наибольшая частота $n_{max} = 12$, и она соответствует значению $x_i = 5$.

Следовательно, мода равна 5.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд данных на две равные по количеству членов части.

Так как объем выборки $N = 30$ (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда, то есть элементов с порядковыми номерами $N/2 = 15$ и $N/2 + 1 = 16$.

Чтобы найти эти элементы, составим таблицу накопленных частот:

Для $x=2$: накопленная частота = 5

Для $x=3$: накопленная частота = 5 + 8 = 13

Для $x=5$: накопленная частота = 13 + 12 = 25

Из таблицы накопленных частот видно, что элементы с 1-го по 5-й равны 2, с 6-го по 13-й равны 3, а с 14-го по 25-й равны 5. Таким образом, и 15-й, и 16-й элементы ряда равны 5.

Медиана вычисляется как: $Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$.

Математическое ожидание ($M(X)$) или выборочное среднее для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$M(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

Подставим наши данные:

$M(X) = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 5 \cdot 12 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{30} = \frac{10 + 24 + 60 + 18 + 16}{30} = \frac{128}{30} \approx 4.27$

Ответ: На основе гипотетических данных: мода $Mo = 5$; медиана $Me = 5$; математическое ожидание $M(X) \approx 4.27$.

2) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Полигон распределения — это ломаная линия, соединяющая точки $(x_i, W_i)$, где $x_i$ — значение варианты, а $W_i$ — ее относительная частота. В данном случае относительные частоты нужно выразить в процентах.

Сначала рассчитаем относительные частоты ($W_i$) в процентах по формуле: $W_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$.

Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{5}{30} \times 100\% \approx 16.7\%$

Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{8}{30} \times 100\% \approx 26.7\%$

Для $x_3 = 5$: $W_3 = \frac{12}{30} \times 100\% = 40.0\%$

Для $x_4 = 6$: $W_4 = \frac{3}{30} \times 100\% = 10.0\%$

Для $x_5 = 8$: $W_5 = \frac{2}{30} \times 100\% \approx 6.7\%$

Для построения полигона на координатной плоскости по оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения вариант $x_i$, а по оси ординат (вертикальной) — соответствующие им относительные частоты в процентах $W_i$. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

Точки для построения полигона в нашем примере:

(2; 16.7), (3; 26.7), (5; 40.0), (6; 10.0), (8; 6.7)

Графически это будет выглядеть как ломаная линия, последовательно соединяющая эти точки. Ось X будет называться "Значение варианты ($x_i$)", а ось Y — "Относительная частота, % ($W_i$)".

Ответ: Для построения полигона необходимо нанести на координатную плоскость точки с координатами $(x_i, W_i(\%))$ и соединить их отрезками. Для гипотетических данных это точки (2; 16.7), (3; 26.7), (5; 40.0), (6; 10.0), (8; 6.7).

8.3. Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в задаче не предоставлен числовой ряд (выборка) или закон распределения, для которых нужно найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение, приведем решение на примере гипотетического набора данных.

Пример: Найдем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для числового ряда: 2, 3, 3, 4, 5, 7.

Прежде всего, необходимо вычислить среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) этого ряда. Среднее арифметическое — это сумма всех значений, деленная на их количество ($n$).

$n = 6$

$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Дисперсия

Дисперсия ($D$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего арифметического. Формула для вычисления: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.

1. Вычислим отклонения каждого значения от среднего ($\bar{x} = 4$):

$2 - 4 = -2$

$3 - 4 = -1$

$3 - 4 = -1$

$4 - 4 = 0$

$5 - 4 = 1$

$7 - 4 = 3$

2. Возведем каждое отклонение в квадрат:

$(-2)^2 = 4$

$(-1)^2 = 1$

$(-1)^2 = 1$

$0^2 = 0$

$1^2 = 1$

$3^2 = 9$

3. Найдем сумму квадратов отклонений:

$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9 = 16$.

4. Разделим сумму на количество элементов ($n=6$) для нахождения дисперсии:

$D = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.67$.

Ответ: Дисперсия равна $D = \frac{8}{3}$.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это мера разброса данных, равная квадратному корню из дисперсии. Формула: $\sigma = \sqrt{D}$.

Используя найденное значение дисперсии $D = \frac{8}{3}$, вычислим среднее квадратическое отклонение:

$\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sigma = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \approx 1.63$.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение равно $\sigma = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

8.4. После урока по теме “Элементы математической статистики” на доске остался ответ “среднее значение равно 12” и таблица 17.2.

Таблица 17.2

Варианта: 5, 8, 18, $x$

Кратность: 15, 11, 19, 5

1) Найдите число $x$;

2) найдите размах, моду и медиану распределения;

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

4) найдите дисперсию распределения.

1) Найдите число x;

Среднее значение (или выборочное среднее) $\bar{x}$ для дискретного вариационного ряда находится по формуле: $\bar{x} = \frac{\sum v_i n_i}{\sum n_i}$, где $v_i$ — это варианты, а $n_i$ — их кратности (частоты).

По условию задачи, среднее значение $\bar{x} = 12$.

Найдем объем выборки (сумму всех кратностей): $N = \sum n_i = 15 + 11 + 19 + 5 = 50$.

Найдем сумму произведений вариант на их кратности: $\sum v_i n_i = 5 \cdot 15 + 8 \cdot 11 + 18 \cdot 19 + x \cdot 5 = 75 + 88 + 342 + 5x = 505 + 5x$.

Составим уравнение, используя формулу среднего значения:

$12 = \frac{505 + 5x}{50}$

Решим уравнение относительно $x$:

$12 \cdot 50 = 505 + 5x$

$600 = 505 + 5x$

$5x = 600 - 505$

$5x = 95$

$x = \frac{95}{5} = 19$.

Ответ: $x = 19$.

2) найдите размах, моду и медиану распределения;

После нахождения $x=19$ имеем следующий вариационный ряд (варианты 5, 8, 18, 19 уже упорядочены по возрастанию) с их кратностями: 15, 11, 19, 5.

Размах распределения — это разность между максимальным и минимальным значениями варианты.

Размах = $v_{max} - v_{min} = 19 - 5 = 14$.

Мода (Mo) — это варианта с наибольшей кратностью. В данном ряду наибольшая кратность равна 19, что соответствует варианте 18.

Mo = 18.

Медиана (Me) — это значение, которое делит упорядоченный ряд на две равные по количеству членов части. Объем выборки $N=50$ — четное число. Медиана равна среднему арифметическому элементов, стоящих на позициях $\frac{N}{2}$ и $\frac{N}{2}+1$, то есть 25-го и 26-го элементов.

Для определения этих элементов рассмотрим накопленные частоты:

- Первые 15 членов ряда равны 5 (позиции с 1-й по 15-ю).

- Следующие 11 членов (с 16-й по 26-ю включительно) равны 8.

Таким образом, 25-й и 26-й элементы ряда оба равны 8.

Me = $\frac{8 + 8}{2} = 8$.

Ответ: размах равен 14, мода равна 18, медиана равна 8.

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

Относительная частота $w_i$ — это отношение кратности варианты $n_i$ к общему объему выборки $N$. Формула: $w_i = \frac{n_i}{N}$. Объем выборки $N = 50$.

Вычислим относительные частоты для каждой варианты:

- Для варианты 5: $w_1 = \frac{15}{50} = 0,3$

- Для варианты 8: $w_2 = \frac{11}{50} = 0,22$

- Для варианты 18: $w_3 = \frac{19}{50} = 0,38$

- Для варианты 19: $w_4 = \frac{5}{50} = 0,1$

Проверка: сумма относительных частот должна быть равна 1: $0,3 + 0,22 + 0,38 + 0,1 = 1,0$.

Ответ: вариационный ряд относительных частот: варианте 5 соответствует относительная частота 0,3; варианте 8 — 0,22; варианте 18 — 0,38; варианте 19 — 0,1.

4) найдите дисперсию распределения.

Дисперсия $D$ для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле: $D = \frac{\sum n_i(v_i - \bar{x})^2}{N}$. Известно, что среднее значение $\bar{x} = 12$ и объем выборки $N=50$.

Рассчитаем квадраты отклонений каждой варианты от среднего значения:

$(v_1 - \bar{x})^2 = (5 - 12)^2 = (-7)^2 = 49$

$(v_2 - \bar{x})^2 = (8 - 12)^2 = (-4)^2 = 16$

$(v_3 - \bar{x})^2 = (18 - 12)^2 = 6^2 = 36$

$(v_4 - \bar{x})^2 = (19 - 12)^2 = 7^2 = 49$

Теперь вычислим взвешенную сумму квадратов отклонений:

$\sum n_i(v_i - \bar{x})^2 = 15 \cdot 49 + 11 \cdot 16 + 19 \cdot 36 + 5 \cdot 49 = 735 + 176 + 684 + 245 = 1840$.

Наконец, найдем дисперсию:

$D = \frac{1840}{50} = 36,8$.

Ответ: дисперсия распределения равна 36,8.