Страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7.7. В специализированном магазине продается 50 видов спортивной обуви (табл. 12.2). Их цена распределена таким образом.

Таблица 12.2

Цена (тыс. тг.) $[2 - 3)$ $[3 - 6)$ $[6 - 9)$ $[9 - 12)$ $[12 - 15)$ $[15 - 18]$

Количество видов 3 8 19 $(*)$ 11 2

1) Найдите $(*)$ в таблице.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

1) Найдите (*) в таблице.

Согласно условию, общее количество видов спортивной обуви в магазине составляет 50. Это число является суммой всех значений в строке "Количество видов" таблицы. Чтобы найти неизвестное значение, обозначенное как (*), необходимо из общего количества вычесть сумму всех известных количеств видов обуви.

Обозначим неизвестное количество как $x$. Тогда:$3 + 8 + 19 + x + 11 + 2 = 50$

Сначала найдем сумму известных количеств:$3 + 8 + 19 + 11 + 2 = 43$

Теперь подставим это значение в уравнение:$43 + x = 50$

Решим уравнение относительно $x$:$x = 50 - 43$$x = 7$

Следовательно, в ценовом диапазоне [9 – 12) тыс. тг. представлено 7 видов обуви.

Ответ: 7

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота ($W_i$) вычисляется как отношение частоты ($n_i$) данной категории к общему объему выборки ($N$). Общий объем выборки $N = 50$. Частоты ($n_i$) для каждого ценового интервала: 3, 8, 19, 7, 11, 2.

Формула для расчета относительной частоты: $W_i = \frac{n_i}{N}$

Выполним расчеты для каждого интервала:

Для интервала [2 – 3): $W_1 = \frac{3}{50} = 0,06$

Для интервала [3 – 6): $W_2 = \frac{8}{50} = 0,16$

Для интервала [6 – 9): $W_3 = \frac{19}{50} = 0,38$

Для интервала [9 – 12): $W_4 = \frac{7}{50} = 0,14$

Для интервала [12 – 15): $W_5 = \frac{11}{50} = 0,22$

Для интервала [15 – 18]: $W_6 = \frac{2}{50} = 0,04$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0,06 + 0,16 + 0,38 + 0,14 + 0,22 + 0,04 = 1,00$.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в виде таблицы:

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Чтобы получить вариационный ряд относительных частот в процентах, необходимо значения относительных частот, найденные в предыдущем пункте, умножить на 100%.

Выполним расчеты для каждого интервала:

Для интервала [2 – 3): $0,06 \times 100\% = 6\%$

Для интервала [3 – 6): $0,16 \times 100\% = 16\%$

Для интервала [6 – 9): $0,38 \times 100\% = 38\%$

Для интервала [9 – 12): $0,14 \times 100\% = 14\%$

Для интервала [12 – 15): $0,22 \times 100\% = 22\%$

Для интервала [15 – 18]: $0,04 \times 100\% = 4\%$

Сумма всех процентных долей должна быть равна 100%: $6\% + 16\% + 38\% + 14\% + 22\% + 4\% = 100\%$.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в виде таблицы:

7.8. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$;

3) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$.

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$

Для нахождения промежутков монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это полиномиальная функция.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 0 + 2 \cdot 2x - 4x^3 = 4x - 4x^3$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 4x(1-x^2)$ в каждом промежутке:

- При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $y'(-2) = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(1-4) = 24 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(1-0.25) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$: $y'(0.5) = 4(0.5)(1 - 0.5^2) = 2(1-0.25) = 1.5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $y'(2) = 4(2)(1 - 2^2) = 8(1-4) = -24 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, критические точки можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x}{2} + \frac{2}{x})' = (\frac{1}{2}x + 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

4. Точки $x = -2$, $x = 2$ и точка разрыва $x = 0$ делят область определения на промежутки: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$ в каждом промежутке. Знак производной зависит только от знака числителя $(x^2 - 4)$, так как знаменатель $2x^2$ всегда положителен в области определения.

- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $x^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-2; 0)$, например $x = -1$: $x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$: $x^2 - 4 = 1^2 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция непрерывна в точках $x=-2$ и $x=2$, поэтому их можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$.

3) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = (\frac{1}{4}x + 4x^{-1})' = \frac{1}{4} - 4x^{-2} = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2}$

$x^2 = 16$

Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

4. Точки $x = -4$, $x = 4$ и точка разрыва $x = 0$ делят область определения на промежутки: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$ в каждом промежутке. Знак производной зависит от знака числителя $(x^2 - 16)$.

- При $x \in (-\infty; -4)$, например $x = -5$: $x^2 - 16 = (-5)^2 - 16 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-4; 0)$, например $x = -1$: $x^2 - 16 = (-1)^2 - 16 = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 4)$, например $x = 1$: $x^2 - 16 = 1^2 - 16 = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (4; +\infty)$, например $x = 5$: $x^2 - 16 = 5^2 - 16 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция непрерывна в точках $x=-4$ и $x=4$, поэтому их можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[-4; 0)$ и $(0; 4]$.

7.9. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{2x^3}{1-x^2}$;

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$;

4) $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{4}$;

1) Для функции $y = x^2 - x^4$, область определения – все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как это полиномиальная функция. Следовательно, вертикальных асимптот у графика функции нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой.

Проверим наличие наклонных (и горизонтальных) асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид $y = kx + b$.

Найдем коэффициент $k$: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x - x^3) = \infty$.

Поскольку предел не является конечным числом, наклонных асимптот у графика функции нет. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных при $k=0$, поэтому их также нет.

Ответ: асимптот нет.

2) Для функции $y = \frac{2x^3}{1 - x^2}$, область определения определяется условием $1 - x^2 \neq 0$, что дает $x \neq \pm 1$. Точки $x=1$ и $x=-1$ являются точками разрыва.

Найдем вертикальные асимптоты, вычислив пределы в точках разрыва:

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3}{1 - x^2} = \infty$

$\lim_{x \to -1} \frac{2x^3}{1 - x^2} = \infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямые $x = 1$ и $x = -1$ являются вертикальными асимптотами.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3}{x(1 - x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{\frac{1}{x^2} - 1} = -2$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3}{1 - x^2} - (-2)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3 + 2x(1-x^2)}{1-x^2}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{1-x^2} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=1$, $x=-1$ – вертикальные асимптоты, $y=-2x$ – наклонная асимптота.

3) Для функции $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$, область определения $x \neq 0$.

Найдем вертикальную асимптоту, вычислив предел в точке разрыва $x=0$:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5}\right) = \infty$.

Следовательно, прямая $x = 0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{x}{5}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}\right) = -\frac{1}{5}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5} + \frac{x}{5}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -\frac{x}{5}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=0$ – вертикальная асимптота, $y = -\frac{x}{5}$ – наклонная асимптота.

4) Для функции $y = \frac{1}{x} - \frac{x}{4}$, область определения $x \neq 0$.

Найдем вертикальную асимптоту, вычислив предел в точке разрыва $x=0$:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4}\right) = \infty$.

Следовательно, прямая $x = 0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{4}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4} + \frac{x}{4}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -\frac{x}{4}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=0$ – вертикальная асимптота, $y = -\frac{x}{4}$ – наклонная асимптота.

7.10. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, синусоидой $y = \sin x$ при $0 < x < 2\pi$.

2) Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2x$.

1)

Площадь фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В данном случае фигура ограничена синусоидой $y = \sin x$ и осью $Ox$ на промежутке $0 < x < 2\pi$.

На промежутке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($\sin x \ge 0$), поэтому площадь $S_1$ на этом участке равна:

$S_1 = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

На промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ неположительна ($\sin x \le 0$), поэтому ее модуль равен $|\sin x| = -\sin x$. Площадь $S_2$ на этом участке равна:

$S_2 = \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.

Общая площадь фигуры является суммой площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

2)

Объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (где $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) \,dx$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^2 = 2x$ для нахождения точек пересечения графиков:

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 2$.

На интервале $(0, 2)$ проверим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x = 1$:

$y = 2x \rightarrow y = 2(1) = 2$

$y = x^2 \rightarrow y = 1^2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, на отрезке $[0, 2]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика $y = x^2$. Следовательно, $f(x) = 2x$ и $g(x) = x^2$.

Подставим функции и пределы в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) \,dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{4 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^5}{5} \right) \right) = \pi \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 96}{15} \right) = \pi \frac{64}{15}$.

Ответ: $\frac{64\pi}{15}$.