Номер 7.8, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7.8. Найдите промежутки монотонности функции:

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$;

3) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$.

1) $y = 2 + 2x^2 - x^4$

Для нахождения промежутков монотонности функции, необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это полиномиальная функция.

2. Найдем производную функции:

$y' = (2 + 2x^2 - x^4)' = 0 + 2 \cdot 2x - 4x^3 = 4x - 4x^3$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x - 4x^3 = 0$

$4x(1 - x^2) = 0$

$4x(1 - x)(1 + x) = 0$

Отсюда получаем критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Эти точки делят числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = 4x(1-x^2)$ в каждом промежутке:

- При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $y'(-2) = 4(-2)(1 - (-2)^2) = -8(1-4) = 24 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-1; 0)$, например $x = -0.5$: $y'(-0.5) = 4(-0.5)(1 - (-0.5)^2) = -2(1-0.25) = -1.5 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 1)$, например $x = 0.5$: $y'(0.5) = 4(0.5)(1 - 0.5^2) = 2(1-0.25) = 1.5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $y'(2) = 4(2)(1 - 2^2) = 8(1-4) = -24 < 0$, следовательно, функция убывает.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, критические точки можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$, убывает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$.

2) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x}{2} + \frac{2}{x})' = (\frac{1}{2}x + 2x^{-1})' = \frac{1}{2} - 2x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0$

$\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}$

$x^2 = 4$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

4. Точки $x = -2$, $x = 2$ и точка разрыва $x = 0$ делят область определения на промежутки: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$ в каждом промежутке. Знак производной зависит только от знака числителя $(x^2 - 4)$, так как знаменатель $2x^2$ всегда положителен в области определения.

- При $x \in (-\infty; -2)$, например $x = -3$: $x^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-2; 0)$, например $x = -1$: $x^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$: $x^2 - 4 = 1^2 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $x^2 - 4 = 3^2 - 4 = 5 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция непрерывна в точках $x=-2$ и $x=2$, поэтому их можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $[-2; 0)$ и $(0; 2]$.

3) $y = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}$

1. Область определения функции: $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x}{4} + \frac{4}{x})' = (\frac{1}{4}x + 4x^{-1})' = \frac{1}{4} - 4x^{-2} = \frac{1}{4} - \frac{4}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в область определения. Приравняем производную к нулю:

$\frac{1}{4} - \frac{4}{x^2} = 0$

$\frac{1}{4} = \frac{4}{x^2}$

$x^2 = 16$

Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.

4. Точки $x = -4$, $x = 4$ и точка разрыва $x = 0$ делят область определения на промежутки: $(-\infty; -4)$, $(-4; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак производной $y' = \frac{x^2 - 16}{4x^2}$ в каждом промежутке. Знак производной зависит от знака числителя $(x^2 - 16)$.

- При $x \in (-\infty; -4)$, например $x = -5$: $x^2 - 16 = (-5)^2 - 16 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.

- При $x \in (-4; 0)$, например $x = -1$: $x^2 - 16 = (-1)^2 - 16 = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (0; 4)$, например $x = 1$: $x^2 - 16 = 1^2 - 16 = -15 < 0$, следовательно, функция убывает.

- При $x \in (4; +\infty)$, например $x = 5$: $x^2 - 16 = 5^2 - 16 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Функция непрерывна в точках $x=-4$ и $x=4$, поэтому их можно включать в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутках $[-4; 0)$ и $(0; 4]$.