Номер 7.10, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7.10. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, синусоидой $y = \sin x$ при $0 < x < 2\pi$.

2) Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = 2x$.

1)

Площадь фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В данном случае фигура ограничена синусоидой $y = \sin x$ и осью $Ox$ на промежутке $0 < x < 2\pi$.

На промежутке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($\sin x \ge 0$), поэтому площадь $S_1$ на этом участке равна:

$S_1 = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

На промежутке $[\pi, 2\pi]$ функция $y = \sin x$ неположительна ($\sin x \le 0$), поэтому ее модуль равен $|\sin x| = -\sin x$. Площадь $S_2$ на этом участке равна:

$S_2 = \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin x) \,dx = [\cos x]_{\pi}^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.

Общая площадь фигуры является суммой площадей $S_1$ и $S_2$:

$S = S_1 + S_2 = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4.

2)

Объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиками функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (где $f(x) \ge g(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x)^2 - g(x)^2) \,dx$.

Сначала найдем пределы интегрирования, решив уравнение $x^2 = 2x$ для нахождения точек пересечения графиков:

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 2$.

На интервале $(0, 2)$ проверим, какая из функций больше. Возьмем пробную точку $x = 1$:

$y = 2x \rightarrow y = 2(1) = 2$

$y = x^2 \rightarrow y = 1^2 = 1$

Поскольку $2 > 1$, на отрезке $[0, 2]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика $y = x^2$. Следовательно, $f(x) = 2x$ и $g(x) = x^2$.

Подставим функции и пределы в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{2} ((2x)^2 - (x^2)^2) \,dx = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - x^4) \,dx$.

Вычислим интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^5}{5} \right) - \left( \frac{4 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^5}{5} \right) \right) = \pi \left( \frac{4 \cdot 8}{3} - \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$V = \pi \left( \frac{32 \cdot 5}{15} - \frac{32 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 96}{15} \right) = \pi \frac{64}{15}$.

Ответ: $\frac{64\pi}{15}$.