Номер 8.6, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.6. Найдите выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение, используя данные таблицы интервальной относительной частоты вариант (табл. 17.4):

Таблица 17.4

Для нахождения выборочной дисперсии и выборочного среднего квадратического отклонения для интервального ряда данных, необходимо сначала преобразовать его в дискретный вариационный ряд. Для этого каждый интервал заменяется его серединой $x_i$, которая будет представлять все значения внутри данного интервала.

1. Определение середин интервалов ($x_i$):

Для интервала $[0; 6)$: $x_1 = \frac{0+6}{2} = 3$

Для интервала $[6; 12)$: $x_2 = \frac{6+12}{2} = 9$

Для интервала $[12; 18)$: $x_3 = \frac{12+18}{2} = 15$

Для интервала $[18; 24]$: $x_4 = \frac{18+24}{2} = 21$

2. Определение объема выборки ($n$):

Объем выборки $n$ равен сумме всех частот $n_i$ (вторая строка таблицы):

$n = \sum n_i = 4 + 6 + 6 + 4 = 20$.

Это также можно проверить по данным относительных частот: $\sum \frac{n_i}{n} = 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2 = 1,0$.

3. Расчет выборочного среднего ($\bar{x}_в$):

Выборочное среднее (среднее арифметическое взвешенное) вычисляется по формуле:

$\bar{x}_в = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$

Подставим наши значения:

$\bar{x}_в = \frac{1}{20} (4 \cdot 3 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 15 + 4 \cdot 21) = \frac{1}{20} (12 + 54 + 90 + 84) = \frac{240}{20} = 12$.

Таким образом, выборочное среднее равно 12.

Теперь мы можем перейти к вычислению искомых величин.

Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия ($D_в$) — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений вариант от выборочного среднего. Формула для ее расчета:

$D_в = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i (x_i - \bar{x}_в)^2$

Подставим наши данные в формулу:

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot (3 - 12)^2 + 6 \cdot (9 - 12)^2 + 6 \cdot (15 - 12)^2 + 4 \cdot (21 - 12)^2)$

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot (-9)^2 + 6 \cdot (-3)^2 + 6 \cdot 3^2 + 4 \cdot 9^2)$

$D_в = \frac{1}{20} (4 \cdot 81 + 6 \cdot 9 + 6 \cdot 9 + 4 \cdot 81) = \frac{1}{20} (324 + 54 + 54 + 324) = \frac{756}{20} = 37,8$.

Для проверки можно использовать альтернативную формулу для вычислений:

$D_в = \overline{x^2} - (\bar{x}_в)^2 = (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i^2) - (\bar{x}_в)^2$

Сначала найдем среднее значение квадратов вариант $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{1}{20} (4 \cdot 3^2 + 6 \cdot 9^2 + 6 \cdot 15^2 + 4 \cdot 21^2) = \frac{1}{20} (4 \cdot 9 + 6 \cdot 81 + 6 \cdot 225 + 4 \cdot 441)$

$\overline{x^2} = \frac{1}{20} (36 + 486 + 1350 + 1764) = \frac{3636}{20} = 181,8$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D_в = 181,8 - 12^2 = 181,8 - 144 = 37,8$.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $D_в = 37,8$.

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Выборочное среднее квадратическое отклонение ($\sigma_в$) — это квадратный корень из выборочной дисперсии. Оно показывает, насколько в среднем значения выборки отклоняются от среднего значения.

$\sigma_в = \sqrt{D_в}$

$\sigma_в = \sqrt{37,8} \approx 6,14817...$

Округляя результат до двух знаков после запятой, получаем:

$\sigma_в \approx 6,15$.

Ответ: $\sigma_в \approx 6,15$.