Номер 8.8, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.8. Одним из основателей современной математической статистики является английский математик Карл Пирсон (1857—1936). С его именем связано развитие числовых оценок корреляции (зависимости) между различными статистическими данными. Разнообразны разделы математической статистики; среди них можно выделить описательную статистику, теорию оценивания, теорию проверки гипотез, последовательный статистический анализ.

Карл Пирсон
(1857—1936)

Текст на изображении представляет Карла Пирсона как одного из основоположников современной математической статистики и перечисляет некоторые ее ключевые разделы. Разберем эти понятия подробнее.

Карл Пирсон и его вклад в статистику

Карл Пирсон (1857–1936) — выдающийся английский математик, биометр и философ науки, который внес фундаментальный вклад в развитие математической статистики. Его работы заложили основу для количественного анализа данных во многих научных дисциплинах. Основной вклад Пирсона, упомянутый в тексте, связан с разработкой численных оценок корреляции. Корреляция — это статистическая мера, которая показывает степень линейной зависимости между двумя случайными величинами. Если значение одной величины растет и вместе с ним, в среднем, растет и значение другой, говорят о положительной корреляции. Если же с ростом одной величины другая уменьшается, корреляция отрицательная. Если изменения величин не связаны, корреляция близка к нулю. Самым известным показателем является коэффициент корреляции Пирсона, обозначаемый как $r$ для выборки. Он принимает значения от -1 до +1. Значение +1 означает идеальную положительную линейную связь, -1 — идеальную отрицательную, а 0 — отсутствие линейной связи. Формула для выборочного коэффициента корреляции Пирсона: $r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$, где $x_i$ и $y_i$ — значения двух переменных для $i$-го наблюдения, а $\bar{x}$ и $\bar{y}$ — их средние значения. Кроме того, Пирсон разработал критерий хи-квадрат ($\chi^2$), который используется для проверки гипотез о соответствии наблюдаемых данных ожидаемым, и внес вклад в теорию регрессионного анализа.

Ответ: Карл Пирсон — основатель математической статистики, известный разработкой методов измерения корреляции, в частности, коэффициента корреляции Пирсона ($r$), и критерия хи-квадрат ($\chi^2$), что позволило количественно оценивать взаимосвязи между статистическими данными.

Описательная статистика

Описательная (дескриптивная) статистика — это раздел статистики, который занимается сбором, систематизацией, обобщением и представлением данных. Её главная цель — описать основные характеристики выборки в удобной и понятной форме, не делая выводов о более широкой генеральной совокупности. Для этого используются различные численные показатели и графические методы. Основные численные показатели включают: меры центральной тенденции, такие как среднее арифметическое (сумма всех значений, деленная на их количество), медиана (значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам) и мода (наиболее часто встречающееся значение); а также меры изменчивости (разброса), такие как дисперсия (средний квадрат отклонений от среднего), стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) и размах (разница между максимальным и минимальным значениями). Графические методы включают гистограммы, полигоны частот, диаграммы рассеяния и ящичные диаграммы (box plot), которые наглядно показывают распределение данных, наличие выбросов и другие особенности.

Ответ: Описательная статистика — это раздел, который позволяет обобщить и описать данные с помощью числовых характеристик (среднее, медиана, стандартное отклонение) и графиков (гистограммы, диаграммы), чтобы выявить их ключевые особенности.

Теория оценивания

Теория оценивания — это раздел математической статистики, который позволяет делать выводы о параметрах всей генеральной совокупности (например, о среднем росте всех жителей страны) на основе данных, полученных из выборки (например, измерения роста 1000 человек). Поскольку исследовать всю совокупность часто невозможно или нецелесообразно, статистики используют выборочные данные для получения оценок неизвестных параметров. Существует два основных типа оценок: 1) Точечная оценка: это одно число, которое является наилучшим предположением о значении параметра. Например, выборочное среднее $\bar{x}$ является точечной оценкой среднего генеральной совокупности $\mu$. 2) Интервальная оценка: это диапазон значений, который с определённой долей уверенности (доверительной вероятностью) содержит истинное значение параметра. Такой диапазон называется доверительным интервалом. Например, можно с 95% уверенностью утверждать, что средний рост всех жителей страны находится в интервале от 175 см до 177 см. Качество оценок определяется их свойствами, такими как несмещённость, состоятельность и эффективность.

Ответ: Теория оценивания — это методы получения приближенных значений (оценок) неизвестных параметров генеральной совокупности на основе выборочных данных. Оценки могут быть точечными (одно число) или интервальными (доверительный интервал).

Теория проверки гипотез

Теория проверки статистических гипотез — это формальный метод принятия решений, основанный на анализе данных. Она позволяет определить, являются ли наблюдаемые в выборке эффекты или различия статистически значимыми или же они могли возникнуть случайно. Процесс проверки гипотез обычно включает следующие шаги: 1) Формулирование нулевой гипотезы ($H_0$) и альтернативной гипотезы ($H_1$). Нулевая гипотеза обычно утверждает отсутствие эффекта (например, "новое лекарство не эффективнее старого"). 2) Выбор уровня значимости $\alpha$ — это пороговая вероятность совершить ошибку первого рода (отклонить верную нулевую гипотезу). 3) Расчет тестовой статистики на основе выборочных данных. 4) Принятие решения: если вероятность получить наблюдаемые данные при условии, что $H_0$ верна (это называется p-value), меньше $\alpha$, то нулевая гипотеза отклоняется. В противном случае, оснований для отклонения $H_0$ нет. Например, можно проверить гипотезу о том, что средний IQ студентов равен 100 ($H_0: \mu = 100$).

Ответ: Теория проверки гипотез — это набор формальных процедур для принятия решений о том, подтверждаются ли предположения (гипотезы) о генеральной совокупности данными из выборки, с использованием понятий нулевой гипотезы, уровня значимости и p-value.

Последовательный статистический анализ

Последовательный статистический анализ — это метод статистического вывода, в котором размер выборки не является фиксированным. Вместо этого данные анализируются по мере их поступления, и на каждом этапе принимается одно из трех решений: 1) принять нулевую гипотезу, 2) отклонить нулевую гипотезу, или 3) продолжить сбор данных, так как имеющейся информации пока недостаточно. Этот подход был в значительной степени разработан Абрахамом Вальдом. Основное преимущество последовательного анализа заключается в том, что он часто позволяет достичь того же уровня точности выводов при меньшем среднем объеме выборки по сравнению с методами с фиксированным объемом. Это особенно ценно, когда сбор данных является дорогостоящим или трудоемким процессом, например, в медицинских испытаниях или при разрушающем контроле качества.

Ответ: Последовательный статистический анализ — это метод, при котором решение о принятии или отклонении гипотезы (или продолжении эксперимента) принимается после каждого нового наблюдения, что позволяет сократить среднее количество необходимых наблюдений.