Номер 8.2, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.2. 1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание.

2) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Для решения данной задачи необходимы статистические данные (например, вариационный ряд или таблица частот), которые в вопросе не представлены. Ниже приведено общее решение задачи с использованием гипотетического примера, чтобы продемонстрировать методику.

Предположим, у нас есть следующий дискретный вариационный ряд, где $x_i$ - значение варианты (наблюдаемое значение), а $n_i$ - ее абсолютная частота (сколько раз она встретилась):

Значения $x_i$: 2, 3, 5, 6, 8

Частоты $n_i$: 5, 8, 12, 3, 2

Общий объем выборки $N$ равен сумме всех частот: $N = 5 + 8 + 12 + 3 + 2 = 30$.

1) Найдите моду, медиану, математическое ожидание.

Мода ($Mo$) — это значение из выборки, которое встречается чаще всего (имеет наибольшую частоту).

В нашем примере наибольшая частота $n_{max} = 12$, и она соответствует значению $x_i = 5$.

Следовательно, мода равна 5.

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию ряд данных на две равные по количеству членов части.

Так как объем выборки $N = 30$ (четное число), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных элементов ряда, то есть элементов с порядковыми номерами $N/2 = 15$ и $N/2 + 1 = 16$.

Чтобы найти эти элементы, составим таблицу накопленных частот:

Для $x=2$: накопленная частота = 5

Для $x=3$: накопленная частота = 5 + 8 = 13

Для $x=5$: накопленная частота = 13 + 12 = 25

Из таблицы накопленных частот видно, что элементы с 1-го по 5-й равны 2, с 6-го по 13-й равны 3, а с 14-го по 25-й равны 5. Таким образом, и 15-й, и 16-й элементы ряда равны 5.

Медиана вычисляется как: $Me = \frac{5 + 5}{2} = 5$.

Математическое ожидание ($M(X)$) или выборочное среднее для дискретного ряда распределения вычисляется по формуле:

$M(X) = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

Подставим наши данные:

$M(X) = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 5 \cdot 12 + 6 \cdot 3 + 8 \cdot 2}{30} = \frac{10 + 24 + 60 + 18 + 16}{30} = \frac{128}{30} \approx 4.27$

Ответ: На основе гипотетических данных: мода $Mo = 5$; медиана $Me = 5$; математическое ожидание $M(X) \approx 4.27$.

2) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Полигон распределения — это ломаная линия, соединяющая точки $(x_i, W_i)$, где $x_i$ — значение варианты, а $W_i$ — ее относительная частота. В данном случае относительные частоты нужно выразить в процентах.

Сначала рассчитаем относительные частоты ($W_i$) в процентах по формуле: $W_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$.

Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{5}{30} \times 100\% \approx 16.7\%$

Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{8}{30} \times 100\% \approx 26.7\%$

Для $x_3 = 5$: $W_3 = \frac{12}{30} \times 100\% = 40.0\%$

Для $x_4 = 6$: $W_4 = \frac{3}{30} \times 100\% = 10.0\%$

Для $x_5 = 8$: $W_5 = \frac{2}{30} \times 100\% \approx 6.7\%$

Для построения полигона на координатной плоскости по оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения вариант $x_i$, а по оси ординат (вертикальной) — соответствующие им относительные частоты в процентах $W_i$. Полученные точки соединяются отрезками прямых.

Точки для построения полигона в нашем примере:

(2; 16.7), (3; 26.7), (5; 40.0), (6; 10.0), (8; 6.7)

Графически это будет выглядеть как ломаная линия, последовательно соединяющая эти точки. Ось X будет называться "Значение варианты ($x_i$)", а ось Y — "Относительная частота, % ($W_i$)".

Ответ: Для построения полигона необходимо нанести на координатную плоскость точки с координатами $(x_i, W_i(\%))$ и соединить их отрезками. Для гипотетических данных это точки (2; 16.7), (3; 26.7), (5; 40.0), (6; 10.0), (8; 6.7).