Номер 7.9, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7.9. Найдите асимптоты графика функции:

1) $y = x^2 - x^4$;

2) $y = \frac{2x^3}{1-x^2}$;

3) $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$;

4) $y = \frac{1}{x} - \frac{1}{4}$;

1) Для функции $y = x^2 - x^4$, область определения – все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как это полиномиальная функция. Следовательно, вертикальных асимптот у графика функции нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой.

Проверим наличие наклонных (и горизонтальных) асимптот. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид $y = kx + b$.

Найдем коэффициент $k$: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x - x^3) = \infty$.

Поскольку предел не является конечным числом, наклонных асимптот у графика функции нет. Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных при $k=0$, поэтому их также нет.

Ответ: асимптот нет.

2) Для функции $y = \frac{2x^3}{1 - x^2}$, область определения определяется условием $1 - x^2 \neq 0$, что дает $x \neq \pm 1$. Точки $x=1$ и $x=-1$ являются точками разрыва.

Найдем вертикальные асимптоты, вычислив пределы в точках разрыва:

$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3}{1 - x^2} = \infty$

$\lim_{x \to -1} \frac{2x^3}{1 - x^2} = \infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямые $x = 1$ и $x = -1$ являются вертикальными асимптотами.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^3}{x(1 - x^2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{\frac{1}{x^2} - 1} = -2$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3}{1 - x^2} - (-2)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{2x^3 + 2x(1-x^2)}{1-x^2}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{1-x^2} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -2x$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=1$, $x=-1$ – вертикальные асимптоты, $y=-2x$ – наклонная асимптота.

3) Для функции $y = \frac{5}{x} - \frac{x}{5}$, область определения $x \neq 0$.

Найдем вертикальную асимптоту, вычислив предел в точке разрыва $x=0$:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5}\right) = \infty$.

Следовательно, прямая $x = 0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} - \frac{x}{5}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x^2} - \frac{1}{5}\right) = -\frac{1}{5}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{5}{x} - \frac{x}{5} + \frac{x}{5}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -\frac{x}{5}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=0$ – вертикальная асимптота, $y = -\frac{x}{5}$ – наклонная асимптота.

4) Для функции $y = \frac{1}{x} - \frac{x}{4}$, область определения $x \neq 0$.

Найдем вертикальную асимптоту, вычислив предел в точке разрыва $x=0$:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4}\right) = \infty$.

Следовательно, прямая $x = 0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{4}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)x\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{4} + \frac{x}{4}\right) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$.

Следовательно, прямая $y = -\frac{x}{4}$ является наклонной асимптотой.

Ответ: $x=0$ – вертикальная асимптота, $y = -\frac{x}{4}$ – наклонная асимптота.