Вопросы, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

1. В чем отличие и сходство выборочной дисперсии и исправленной выборочной дисперсии?

Сходство:

• И выборочная, и исправленная выборочная дисперсии являются мерами разброса (вариативности) данных в выборке. Они показывают, насколько сильно значения в выборке отклоняются от своего среднего значения.
• Обе величины рассчитываются на основе суммы квадратов отклонений каждого значения выборки от выборочного среднего.
• При большом объеме выборки ($n \to \infty$) разница между значениями выборочной и исправленной дисперсии становится пренебрежимо малой, и их значения стремятся друг к другу.

Отличие:

• Основное математическое отличие заключается в знаменателе формулы. Для выборочной дисперсии ($D_в$) сумма квадратов отклонений делится на объем выборки $n$. Для исправленной выборочной дисперсии ($s^2$) — на $n-1$.
• Это различие в знаменателе обусловлено свойствами этих величин как статистических оценок. Выборочная дисперсия ($D_в$) является смещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности. Это означает, что в среднем она систематически занижает реальную дисперсию в популяции, из которой была взята выборка.
• Исправленная выборочная дисперсия ($s^2$) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Использование знаменателя $n-1$ (так называемая поправка Бесселя) корректирует смещение, и в среднем значение $s^2$ по разным выборкам будет равно истинной дисперсии генеральной совокупности. Поэтому для статистических выводов и оценки параметров популяции всегда используется исправленная дисперсия.
• Как следствие, исправленная дисперсия для любой выборки всегда больше, чем выборочная: $s^2 = D_в \cdot \frac{n}{n-1}$.

Ответ: Сходство заключается в том, что обе величины измеряют разброс данных в выборке относительно среднего. Отличие — в формуле (знаменатели $n$ и $n-1$) и в статистических свойствах: выборочная дисперсия является смещенной оценкой, а исправленная — несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

2. От чего зависит выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения?

Выбор формулы для вычисления среднего квадратического отклонения (СКО), также известного как стандартное отклонение, напрямую зависит от цели статистического анализа, так как СКО является квадратным корнем из дисперсии.

• Если задача состоит в том, чтобы просто описать имеющуюся выборку, то есть провести описательный анализ, можно использовать СКО, полученное из выборочной (смещенной) дисперсии. Эта величина будет характеризовать разброс данных именно в этой конкретной выборке.
• Если задача состоит в том, чтобы по данным выборки сделать выводы о свойствах всей генеральной совокупности (интервальное оценивание, проверка гипотез), то необходимо использовать СКО, полученное из исправленной (несмещенной) выборочной дисперсии. Это позволяет получить более точную оценку стандартного отклонения генеральной совокупности.

Таким образом, выбор зависит от того, рассматриваем ли мы выборку как самодостаточный набор данных или как представителя более крупной популяции, о которой мы хотим сделать выводы.

Ответ: Выбор формулы для СКО зависит от цели исследования: для описания данных самой выборки используют формулу на основе выборочной дисперсии (со знаменателем $n$), а для оценки параметров генеральной совокупности — на основе исправленной дисперсии (со знаменателем $n-1$).

3. Запишите формулу выборочной дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Выборочная дисперсия ($D_в$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего значения.

Формула выборочной дисперсии:$D_в = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$

где:

• $n$ — объем выборки (количество элементов);
• $x_i$ — $i$-й элемент выборки;
• $\bar{x}$ — среднее арифметическое значение выборки, которое вычисляется по формуле: $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$.

Среднее квадратическое отклонение (или выборочное стандартное отклонение, $\sigma_в$) — это корень квадратный из выборочной дисперсии. Оно показывает, на сколько в среднем значения выборки отклоняются от своего среднего.

Формула среднего квадратического отклонения:

$\sigma_в = \sqrt{D_в} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

Ответ: Формула выборочной дисперсии: $D_в = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$. Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma_в = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$.