Номер 8.5, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.5. После урока по теме “Элементы математической статистики” на до-ске остался ответ “среднее значение равно 9” и таблица 17.3.

Таблица 17.3

1) Найдите число $x$;

2) найдите размах, объем выборки, моду и медиану распределения;

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

4) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1) Найдите число x;

Среднее значение выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле взвешенного среднего: $\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$, где $x_i$ — это варианты, а $n_i$ — их кратности (частоты). По условию задачи, среднее значение равно 9. В таблице представлены варианты 4, 8, 12 с кратностями 5, 2 и $x$ соответственно.

Подставим известные значения в формулу:

$9 = \frac{4 \cdot 5 + 8 \cdot 2 + 12 \cdot x}{5 + 2 + x}$

Упростим выражение в числителе и знаменателе:

$9 = \frac{20 + 16 + 12x}{7 + x}$

$9 = \frac{36 + 12x}{7 + x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$9 \cdot (7 + x) = 36 + 12x$

$63 + 9x = 36 + 12x$

$12x - 9x = 63 - 36$

$3x = 27$

$x = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: $x=9$.

2) найдите размах, объем выборки, моду и медиану распределения;

Теперь, когда мы знаем, что $x=9$, мы можем найти требуемые статистические характеристики. Исходные данные для расчетов: варианты 4, 8, 12 с кратностями 5, 2, 9.

Объем выборки ($n$) — это сумма всех кратностей:

$n = 5 + 2 + 9 = 16$

Размах ($R$) — это разность между максимальной и минимальной вариантой:

$R = x_{max} - x_{min} = 12 - 4 = 8$

Мода ($Mo$) — это варианта с наибольшей кратностью. Кратности равны 5, 2 и 9. Наибольшая кратность 9 соответствует варианте 12.

$Mo = 12$

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам. Поскольку объем выборки $n=16$ (четное число), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть элементов на 8-й ($16/2$) и 9-й ($16/2+1$) позициях. Посчитаем накопленные частоты: для варианты 4 — 5; для варианты 8 — $5+2=7$; для варианты 12 — $7+9=16$. Это означает, что первые 5 элементов равны 4, 6-й и 7-й элементы равны 8, а с 8-го по 16-й элементы равны 12. Следовательно, 8-й и 9-й элементы оба равны 12.

$Me = \frac{12 + 12}{2} = 12$

Ответ: размах равен 8, объем выборки равен 16, мода равна 12, медиана равна 12.

3) составьте вариационный ряд относительных частот распределения;

Относительная частота ($W_i$) для каждой варианты вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — кратность варианты, а $n$ — объем выборки ($n=16$).

Для варианты 4: $W_1 = \frac{5}{16}$

Для варианты 8: $W_2 = \frac{2}{16}$

Для варианты 12: $W_3 = \frac{9}{16}$

Сумма относительных частот: $\frac{5}{16} + \frac{2}{16} + \frac{9}{16} = \frac{16}{16} = 1$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ: вариационный ряд относительных частот: для варианты 4 – $5/16$; для варианты 8 – $2/16$; для варианты 12 – $9/16$.

4) найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия ($D$) — это мера разброса данных вокруг среднего значения. Её удобно вычислить по формуле $D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2$, где $\bar{x}$ — среднее значение, а $\overline{x^2}$ — среднее значение квадратов вариант.

Из условия мы знаем, что $\bar{x} = 9$. Найдем $\overline{x^2}$:

$\overline{x^2} = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} = \frac{4^2 \cdot 5 + 8^2 \cdot 2 + 12^2 \cdot 9}{16}$

$\overline{x^2} = \frac{16 \cdot 5 + 64 \cdot 2 + 144 \cdot 9}{16} = \frac{80 + 128 + 1296}{16} = \frac{1504}{16} = 94$

Теперь вычислим дисперсию:

$D = \overline{x^2} - (\bar{x})^2 = 94 - 9^2 = 94 - 81 = 13$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии.

$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{13}$

Ответ: дисперсия равна 13, среднее квадратическое отклонение равно $\sqrt{13}$.