Номер 8.11, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8.11. Найдите корни уравнения:

1) $x+4\sqrt{x}=12;$

2) $x-13\sqrt{x}=-42;$

3) $x-2+3\sqrt{x-2}=28;$

4) $x-3=2\sqrt{x+4}+1.$

1) Дано уравнение $x + 4\sqrt{x} = 12$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Из замены следует, что $x = t^2$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t^2 + 4t = 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -12, а их сумма равна -4. Подбором находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t = 2$:

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 4$

Полученный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение: $4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$. Равенство $12=12$ верно.

Ответ: 4

2) Дано уравнение $x - 13\sqrt{x} = -42$.

Перенесем все члены в левую часть: $x - 13\sqrt{x} + 42 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 13t + 42 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 42. Легко подобрать корни $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$.

Оба корня, $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого из корней:

1. Для $t_1 = 6$: $\sqrt{x} = 6 \implies x_1 = 6^2 = 36$.

2. Для $t_2 = 7$: $\sqrt{x} = 7 \implies x_2 = 7^2 = 49$.

Оба найденных значения $x=36$ и $x=49$ удовлетворяют ОДЗ.

Проверка:

Для $x=36$: $36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Верно.

Для $x=49$: $49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Верно.

Ответ: 36; 49

3) Дано уравнение $x - 2 + 3\sqrt{x-2} = 28$.

Перенесем 28 в левую часть: $(x - 2) + 3\sqrt{x-2} - 28 = 0$.

ОДЗ определяется подкоренным выражением: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x-2}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x-2 = t^2$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем:

$t^2 + 3t - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -28. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию, значит, он посторонний.

Выполним обратную замену для $t = 4$:

$\sqrt{x-2} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 16$

$x = 18$

Полученный корень $x=18$ удовлетворяет ОДЗ ($18 \ge 2$).

Проверка: $18 - 2 + 3\sqrt{18 - 2} = 16 + 3\sqrt{16} = 16 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$. Равенство $28=28$ верно.

Ответ: 18

4) Дано уравнение $x - 3 = 2\sqrt{x+4} + 1$.

Уединим радикал. Перенесем 1 в левую часть:

$x - 3 - 1 = 2\sqrt{x+4}$

$x - 4 = 2\sqrt{x+4}$

Определим ОДЗ. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$. Во-вторых, правая часть $2\sqrt{x+4}$ неотрицательна, значит и левая часть $x-4$ должна быть неотрицательной: $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения $x - 4 = 2\sqrt{x+4}$ в квадрат:

$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4(x+4)$

$x^2 - 8x + 16 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 4x + 16 - 16 = 0$

$x^2 - 12x = 0$

Решим неполное квадратное уравнение, вынеся $x$ за скобки:

$x(x - 12) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ ($0 < 4$), поэтому является посторонним.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 4$).

Проверка: подставим $x=12$ в исходное уравнение. Левая часть: $12 - 3 = 9$. Правая часть: $2\sqrt{12+4} + 1 = 2\sqrt{16} + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 9$. Равенство $9=9$ верно.

Ответ: 12