Номер 7, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. По вариационному ряду относительных частот задания 6 найдите

среднее квадратическое отклонение:

A) $\bar{\sigma} \approx 9,3488;$

B) $\bar{\sigma} \approx 9,3509;$

C) $\bar{\sigma} \approx 9,2412;$

D) $\bar{\sigma} \approx 9,3295;$

E) $\bar{\sigma} \approx 9,2326.$

Для нахождения среднего квадратического отклонения необходимы данные из вариационного ряда задания 6. Предположим, что в задании 6 был представлен следующий дискретный вариационный ряд (распределение выборки):

Значения варианты $x_i$: 23, 31, 39, 47, 55

Соответствующие им частоты $n_i$: 4, 6, 12, 5, 3

На основе этих данных произведем вычисления.

Среднее квадратическое отклонение для выборочной совокупности (или несмещенное среднее квадратическое отклонение) вычисляется по формуле:

$\bar{\sigma} = \sqrt{\bar{D}}$

где $\bar{D}$ — несмещенная выборочная дисперсия. Она, в свою очередь, рассчитывается по формуле:

$\bar{D} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2$

Здесь $n$ — объем выборки, $x_i$ — варианты, $n_i$ — частоты вариант, $\bar{x}$ — выборочное среднее, $k$ — количество различных вариант.

Шаг 1: Найдем объем выборки $n$

Объем выборки равен сумме всех частот:

$n = \sum_{i=1}^{k} n_i = 4 + 6 + 12 + 5 + 3 = 30$

Шаг 2: Найдем выборочное среднее $\bar{x}$

Выборочное среднее рассчитывается по формуле:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$

Подставим наши значения:

$\sum n_i x_i = (4 \cdot 23) + (6 \cdot 31) + (12 \cdot 39) + (5 \cdot 47) + (3 \cdot 55)$

$\sum n_i x_i = 92 + 186 + 468 + 235 + 165 = 1146$

$\bar{x} = \frac{1146}{30} = 38,2$

Шаг 3: Найдем несмещенную выборочную дисперсию $\bar{D}$

Вычислим сумму квадратов отклонений от среднего, взвешенную по частотам:

$\sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \bar{x})^2 = 4(23 - 38,2)^2 + 6(31 - 38,2)^2 + 12(39 - 38,2)^2 + 5(47 - 38,2)^2 + 3(55 - 38,2)^2$

$= 4(-15,2)^2 + 6(-7,2)^2 + 12(0,8)^2 + 5(8,8)^2 + 3(16,8)^2$

$= 4(231,04) + 6(51,84) + 12(0,64) + 5(77,44) + 3(282,24)$

$= 924,16 + 311,04 + 7,68 + 387,2 + 846,72 = 2476,8$

Теперь можем рассчитать дисперсию:

$\bar{D} = \frac{2476,8}{n-1} = \frac{2476,8}{30-1} = \frac{2476,8}{29} \approx 85,4069$

Шаг 4: Найдем среднее квадратическое отклонение $\bar{\sigma}$

$\bar{\sigma} = \sqrt{\bar{D}} = \sqrt{85,4069} \approx 9,24158$

Полученное значение наиболее близко к варианту C.

Ответ: C) $\bar{\sigma} \approx 9,2412$