Номер 9.1, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.1. Найдите корень из произведения:

1) $\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100}$;

2) $\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125}$;

3) $\sqrt{a^4 \cdot b^2 \cdot c^6}$;

4) $\sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4}$.

1) Для нахождения корня из произведения воспользуемся свойством корня: корень из произведения равен произведению корней из каждого множителя. Это свойство записывается формулой $ \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} $ (для неотрицательных $a$ и $b$, если $n$ — четное число).

$ \sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{100} $

Вычислим каждый квадратный корень отдельно:

$ \sqrt{49} = 7 $

$ \sqrt{64} = 8 $

$ \sqrt{100} = 10 $

Теперь перемножим полученные значения:

$ 7 \cdot 8 \cdot 10 = 56 \cdot 10 = 560 $

Ответ: $560$.

2) Используем то же свойство корня из произведения для кубического корня:

$ \sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125} $

Вычислим каждый кубический корень, представив подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$ \sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2 $

$ \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3 $

$ \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5 $

Перемножим результаты:

$ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30 $

Ответ: $30$.

3) Применим свойство корня из произведения и свойство корня из степени $ \sqrt[n]{x^k} = |x^{\frac{k}{n}}| $ для четного $n$. При извлечении корня четной степени, результат должен быть неотрицательным. Поэтому, если в результате извлечения корня переменная оказывается в нечетной степени, необходимо использовать знак модуля.

$ \sqrt{a^4 \cdot b^2 \cdot c^6} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{c^6} $

Упростим каждый множитель:

$ \sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2 $ (поскольку $ a^2 $ всегда неотрицательно)

$ \sqrt{b^2} = |b| $

$ \sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3| $

Объединяем результаты: $ a^2 \cdot |b| \cdot |c^3| $

Ответ: $a^2|b||c^3|$.

4) Используем те же свойства, что и в предыдущем примере, для корня четвертой степени (четная степень).

$ \sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4} = \sqrt[4]{m^8} \cdot \sqrt[4]{k^{12}} \cdot \sqrt[4]{t^4} $

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

$ \sqrt[4]{m^8} = \sqrt[4]{(m^2)^4} = |m^2| = m^2 $ (поскольку $ m^2 $ всегда неотрицательно)

$ \sqrt[4]{k^{12}} = \sqrt[4]{(k^3)^4} = |k^3| $

$ \sqrt[4]{t^4} = |t| $

Объединяем результаты: $ m^2 \cdot |k^3| \cdot |t| $

Ответ: $m^2|k^3||t|$.