Номер 9.3, страница 77 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.3. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{32 \cdot a^{10}}$ ;

2) $\sqrt[6]{128 \cdot a^{12} b^{18} c^{6}}$ ;

3) $\sqrt[3]{64 \cdot m^{6} n^{9} p^{3}}$ ;

4) $\sqrt[4]{\frac{16}{81} x^{8} y^{12}}$ .

1) Для упрощения выражения $ \sqrt[5]{32 \cdot a^{10}} $ воспользуемся свойством корня из произведения: $ \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} $.

$ \sqrt[5]{32 \cdot a^{10}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^{10}} $.

Теперь извлечем корень из каждого множителя. Так как степень корня (5) нечетная, знак модуля не используется.

Найдем корень пятой степени из 32. Поскольку $ 2^5 = 32 $, то $ \sqrt[5]{32} = 2 $.

Найдем корень пятой степени из $ a^{10} $. Используя свойство $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $, получаем: $ \sqrt[5]{a^{10}} = a^{\frac{10}{5}} = a^2 $.

Перемножим полученные результаты: $ 2 \cdot a^2 = 2a^2 $.

Ответ: $ 2a^2 $.

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[6]{128 \cdot a^{12} b^{18} c^{6}} $ разложим подкоренное выражение на множители.

Число 128 можно представить как $ 64 \cdot 2 = 2^6 \cdot 2 $.

Выражение можно переписать так: $ \sqrt[6]{2^6 \cdot 2 \cdot a^{12} \cdot b^{18} \cdot c^{6}} $.

Используя свойство корня из произведения, вынесем множители из-под знака корня:

$ \sqrt[6]{2^6 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{2} $.

При извлечении корня четной степени (6) из выражения в такой же степени используется правило $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $ n $.

$ \sqrt[6]{2^6} = |2| = 2 $.

$ \sqrt[6]{(a^2)^6} = |a^2| = a^2 $, так как $ a^2 $ всегда неотрицательно.

$ \sqrt[6]{(b^3)^6} = |b^3| $.

$ \sqrt[6]{c^6} = |c| $.

Множитель 2 остается под корнем, так как его степень (1) меньше степени корня (6).

Собираем все вместе: $ 2 \cdot a^2 \cdot |b^3| \cdot |c| \cdot \sqrt[6]{2} = 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2} $.

Ответ: $ 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2} $.

3) Упростим выражение $ \sqrt[3]{64 \cdot m^6 n^9 p^3} $.

Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt[n]{xyz} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \cdot \sqrt[n]{z} $.

$ \sqrt[3]{64 \cdot m^6 n^9 p^3} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{m^6} \cdot \sqrt[3]{n^9} \cdot \sqrt[3]{p^3} $.

Вычислим каждый корень отдельно, используя свойство $ \sqrt[n]{x^k} = x^{k/n} $. Для нечетной степени корня (3) знак модуля не требуется.

$ \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4 $.

$ \sqrt[3]{m^6} = m^{6/3} = m^2 $.

$ \sqrt[3]{n^9} = n^{9/3} = n^3 $.

$ \sqrt[3]{p^3} = p^{3/3} = p $.

Объединяем результаты, перемножая их: $ 4 \cdot m^2 \cdot n^3 \cdot p = 4m^2n^3p $.

Ответ: $ 4m^2n^3p $.

4) Упростим выражение $ \sqrt[4]{\frac{16}{81} x^8 y^{12}} $.

Воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} $ и корня из произведения.

$ \sqrt[4]{\frac{16 x^8 y^{12}}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16 \cdot x^8 \cdot y^{12}}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{y^{12}}}{\sqrt[4]{81}} $.

Вычислим корни из числителя и знаменателя. Так как корень четной степени (4), при извлечении корня из четной степени используем правило $ \sqrt[n]{a^n} = |a| $.

В знаменателе: $ \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 $.

В числителе:

$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $.

$ \sqrt[4]{x^8} = \sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2| = x^2 $, так как $ x^2 $ всегда неотрицательно.

$ \sqrt[4]{y^{12}} = \sqrt[4]{(y^3)^4} = |y^3| $.

Собираем все части вместе: $ \frac{2 \cdot x^2 \cdot |y^3|}{3} $.

Это можно записать в виде $ \frac{2}{3}x^2|y^3| $.

Ответ: $ \frac{2}{3}x^2|y^3| $.