Номер 9.7, страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Параграф 9. Корень n-й степени из действительного числа и его свойства. Глава III. Степени и корни. Степенная функция - номер 9.7, страница 78.

Условие.

Выполните действия (9.7—9.8):

9.7. 1) $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$

2) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$

3) $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0.2^{-2}$

4) $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$

Решение 2 (rus).

1) Чтобы выполнить умножение $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$, воспользуемся свойством корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37})}$

В подкоренном выражении находится произведение суммы и разности двух чисел, которое равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.

Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt[3]{27}$.

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

2) Выполним умножение $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$ аналогично предыдущему примеру, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}} = \sqrt[3]{(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41})}$

Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41}) = 7^2 - (\sqrt{41})^2 = 49 - 41 = 8$.

Получаем выражение $\sqrt[3]{8}$.

$\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

3) Рассмотрим выражение $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0.2^{-2}$. Решим его по частям.

Сначала возведем в квадрат скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} + (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2$

$= (3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} + (3 + \sqrt{5})$

$= 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= 6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10$.

Теперь вычислим второй множитель $0.2^{-2}$.

$0.2 = \frac{1}{5}$.

$0.2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.

Перемножим полученные результаты: $10 \cdot 25 = 250$.

Ответ: 250

4) Рассмотрим выражение $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$. Решим его по частям.

Сначала возведем в квадрат скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6 - \sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{6 + \sqrt{11}} + (\sqrt{6 + \sqrt{11}})^2$

$= (6 - \sqrt{11}) - 2\sqrt{(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})} + (6 + \sqrt{11})$

$= 6 - \sqrt{11} + 6 + \sqrt{11} - 2\sqrt{6^2 - (\sqrt{11})^2}$

$= 12 - 2\sqrt{36 - 11} = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.

Теперь вычислим второй множитель $(\frac{2}{3})^{-1}$.

$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Перемножим полученные результаты: $2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: 3