Страница 78 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Выполните действия (9.5–9.6):

9.5. 1) $\frac{\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27\cdot 2^6}$;

2) $\sqrt[3]{216\cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}};

3) $\sqrt[3]{27\cdot 4^3} - \sqrt{\frac{81}{256}};

4) $5 - \left(3\cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125}\right)$.

1)

Вычислим значение выражения $\frac{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{486}} + \sqrt[3]{27 \cdot 2^6}$.

Упростим первое слагаемое. Используя свойство корня из произведения ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$), объединим корни в числителе: $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{3} = \sqrt[4]{2 \cdot 3} = \sqrt[4]{6}$.

Теперь вся дробь имеет вид $\frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[4]{486}}$. По свойству корня из частного ($\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$), получим $\sqrt[4]{\frac{6}{486}}$.

Сократим подкоренное выражение: $\frac{6}{486} = \frac{1}{81}$.

Таким образом, первое слагаемое равно $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$, так как $3^4 = 81$.

Теперь упростим второе слагаемое $\sqrt[3]{27 \cdot 2^6}$. Используя свойство корня из произведения, имеем $\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2^6}$.

Вычислим каждый множитель: $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$ и $\sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4$.

Второе слагаемое равно $3 \cdot 4 = 12$.

Сложим полученные значения: $\frac{1}{3} + 12 = 12\frac{1}{3}$.

Ответ: $12\frac{1}{3}$.

2)

Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3} - \sqrt[5]{\frac{32}{243}}$.

Рассмотрим уменьшаемое $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3}$. По свойству корня из произведения: $\sqrt[3]{216 \cdot 7^3} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{7^3}$.

Так как $216=6^3$, то $\sqrt[3]{216}=6$. Также $\sqrt[3]{7^3}=7$.

Следовательно, уменьшаемое равно $6 \cdot 7 = 42$.

Теперь рассмотрим вычитаемое $\sqrt[5]{\frac{32}{243}}$. По свойству корня из частного: $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{243}}$.

Так как $32 = 2^5$ и $243 = 3^5$, то вычитаемое равно $\frac{\sqrt[5]{2^5}}{\sqrt[5]{3^5}} = \frac{2}{3}$.

Выполним вычитание: $42 - \frac{2}{3} = 41 + 1 - \frac{2}{3} = 41 + \frac{1}{3} = 41\frac{1}{3}$.

Ответ: $41\frac{1}{3}$.

3)

Вычислим значение выражения $\sqrt[3]{27 \cdot 4^3} - \sqrt[4]{\frac{81}{256}}$.

Упростим уменьшаемое $\sqrt[3]{27 \cdot 4^3}$. Используя свойство корня из произведения, получаем $\sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{4^3}$.

Так как $27=3^3$, то $\sqrt[3]{27}=3$. Корень $\sqrt[3]{4^3}=4$.

Таким образом, уменьшаемое равно $3 \cdot 4 = 12$.

Теперь упростим вычитаемое $\sqrt[4]{\frac{81}{256}}$. По свойству корня из частного: $\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$.

Так как $81=3^4$ и $256=4^4$, то вычитаемое равно $\frac{\sqrt[4]{3^4}}{\sqrt[4]{4^4}} = \frac{3}{4}$.

Выполним вычитание: $12 - \frac{3}{4} = 11 + 1 - \frac{3}{4} = 11 + \frac{1}{4} = 11\frac{1}{4}$.

Ответ: $11\frac{1}{4}$.

4)

Вычислим значение выражения $5 - \left( 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}} + \sqrt[3]{0,125} \right)$.

Сначала выполним действия в скобках. Рассмотрим первое слагаемое в скобках: $3 \cdot \sqrt[4]{\frac{16}{81}}$.

Вычислим корень: $\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{2}{3}$.

Тогда первое слагаемое равно $3 \cdot \frac{2}{3} = 2$.

Теперь найдем значение второго слагаемого в скобках: $\sqrt[3]{0,125}$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Тогда $\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Сумма в скобках равна $2 + 0,5 = 2,5$.

Наконец, выполним вычитание: $5 - 2,5 = 2,5$.

Ответ: $2,5$.

9.6. 1) $1 - \sqrt{2\frac{7}{9}} + 0,3 \cdot \sqrt[4]{256}$;

2) $2 \cdot \sqrt{1\frac{11}{25}} - 1\frac{2}{5} + 0,7 \cdot \sqrt[3]{0,216}$;

3) $11 : (0,15 \cdot \sqrt[3]{64000} - 0,29 \cdot \sqrt[3]{8000})$;

4) $2,5 \cdot \sqrt[4]{10000} + \frac{3}{4} \sqrt{1,44} - 2,09 : \sqrt[3]{1,331} .$

1) Решим выражение $1 - \sqrt{2\frac{7}{9}} + 0,3 \cdot \sqrt[4]{256}$ по действиям.

Первым делом упростим выражения с корнями.

1. Преобразуем смешанное число под первым корнем в неправильную дробь: $2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{25}{9}$.

2. Теперь извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$.

3. Найдем корень четвертой степени из 256. Так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение: $1 - \frac{5}{3} + 0,3 \cdot 4$.

5. Выполним умножение: $0,3 \cdot 4 = 1,2$.

6. Выполним оставшиеся действия, приведя числа к общему знаменателю. Представим $1$ как $\frac{15}{15}$ и $1,2$ как $\frac{6}{5} = \frac{18}{15}$. Дробь $\frac{5}{3}$ представим как $\frac{25}{15}$.

$1 - \frac{5}{3} + 1,2 = \frac{15}{15} - \frac{25}{15} + \frac{18}{15} = \frac{15 - 25 + 18}{15} = \frac{8}{15}$.

Ответ: $\frac{8}{15}$.

2) Решим выражение $2 \cdot \sqrt{1\frac{11}{25}} - 1\frac{2}{5} + 0,7 \cdot \sqrt[3]{0,216}$ по действиям.

Для удобства будем работать с десятичными дробями.

1. Упростим первый корень. Сначала преобразуем смешанное число: $1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$.

2. Извлечем квадратный корень: $\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1,2$.

3. Упростим второй корень. Так как $0,6^3 = 0,216$, то $\sqrt[3]{0,216} = 0,6$.

4. Подставим значения в выражение. Смешанную дробь $1\frac{2}{5}$ также представим в виде десятичной: $1\frac{2}{5} = 1,4$.

Получаем: $2 \cdot 1,2 - 1,4 + 0,7 \cdot 0,6$.

5. Выполним умножение: $2 \cdot 1,2 = 2,4$ и $0,7 \cdot 0,6 = 0,42$.

6. Выполним сложение и вычитание: $2,4 - 1,4 + 0,42 = 1 + 0,42 = 1,42$.

Ответ: $1,42$.

3) Решим выражение $11 : (0,15 \cdot \sqrt[3]{64000} - 0,29 \cdot \sqrt[3]{8000})$ по действиям.

Сначала выполним действия в скобках.

1. Найдем значения корней:

$\sqrt[3]{64000} = \sqrt[3]{64 \cdot 1000} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10 = 40$.

$\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = 2 \cdot 10 = 20$.

2. Подставим значения в скобки: $(0,15 \cdot 40 - 0,29 \cdot 20)$.

3. Выполним умножение в скобках:

$0,15 \cdot 40 = 6$.

$0,29 \cdot 20 = 5,8$.

4. Выполним вычитание в скобках: $6 - 5,8 = 0,2$.

5. Теперь выполним деление: $11 : 0,2 = 11 : \frac{2}{10} = 11 \cdot \frac{10}{2} = 11 \cdot 5 = 55$.

Ответ: $55$.

4) Решим выражение $2,5 \cdot \sqrt[4]{10000} + \frac{3}{4}\sqrt{1,44} - 2,09 : \sqrt[3]{1,331}$ по действиям.

1. Найдем значения корней:

$\sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.

$\sqrt{1,44} = \sqrt{(1,2)^2} = 1,2$.

$\sqrt[3]{1,331} = \sqrt[3]{(1,1)^3} = 1,1$.

2. Подставим значения в выражение: $2,5 \cdot 10 + \frac{3}{4} \cdot 1,2 - 2,09 : 1,1$.

3. Выполним действия умножения и деления слева направо:

$2,5 \cdot 10 = 25$.

$\frac{3}{4} \cdot 1,2 = 0,75 \cdot 1,2 = 0,9$.

$2,09 : 1,1 = 1,9$.

4. Подставим результаты и выполним сложение и вычитание: $25 + 0,9 - 1,9 = 25,9 - 1,9 = 24$.

Ответ: $24$.

Выполните действия (9.7—9.8):

9.7. 1) $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$

2) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$

3) $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0.2^{-2}$

4) $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$

1) Чтобы выполнить умножение $\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}}$, воспользуемся свойством корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37})}$

В подкоренном выражении находится произведение суммы и разности двух чисел, которое равно разности их квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(8 + \sqrt{37})(8 - \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.

Таким образом, выражение упрощается до $\sqrt[3]{27}$.

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

2) Выполним умножение $\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}}$ аналогично предыдущему примеру, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{7 - \sqrt{41}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{41}} = \sqrt[3]{(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41})}$

Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(7 - \sqrt{41})(7 + \sqrt{41}) = 7^2 - (\sqrt{41})^2 = 49 - 41 = 8$.

Получаем выражение $\sqrt[3]{8}$.

$\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

3) Рассмотрим выражение $(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 \cdot 0.2^{-2}$. Решим его по частям.

Сначала возведем в квадрат скобку, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})^2 = (\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{5}} \cdot \sqrt{3 + \sqrt{5}} + (\sqrt{3 + \sqrt{5}})^2$

$= (3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} + (3 + \sqrt{5})$

$= 3 - \sqrt{5} + 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= 6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} = 6 + 2 \cdot 2 = 6 + 4 = 10$.

Теперь вычислим второй множитель $0.2^{-2}$.

$0.2 = \frac{1}{5}$.

$0.2^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.

Перемножим полученные результаты: $10 \cdot 25 = 250$.

Ответ: 250

4) Рассмотрим выражение $(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 \cdot (\frac{2}{3})^{-1}$. Решим его по частям.

Сначала возведем в квадрат скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(\sqrt{6 - \sqrt{11}} - \sqrt{6 + \sqrt{11}})^2 = (\sqrt{6 - \sqrt{11}})^2 - 2 \cdot \sqrt{6 - \sqrt{11}} \cdot \sqrt{6 + \sqrt{11}} + (\sqrt{6 + \sqrt{11}})^2$

$= (6 - \sqrt{11}) - 2\sqrt{(6 - \sqrt{11})(6 + \sqrt{11})} + (6 + \sqrt{11})$

$= 6 - \sqrt{11} + 6 + \sqrt{11} - 2\sqrt{6^2 - (\sqrt{11})^2}$

$= 12 - 2\sqrt{36 - 11} = 12 - 2\sqrt{25} = 12 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$.

Теперь вычислим второй множитель $(\frac{2}{3})^{-1}$.

$(\frac{2}{3})^{-1} = \frac{3}{2}$.

Перемножим полученные результаты: $2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.

Ответ: 3

9.8. 1)

$2\sqrt{81} + \sqrt[3]{-125} + \sqrt[6]{64};$

2) $5\sqrt[3]{-8} + \sqrt[4]{16} - \sqrt[6]{729};$

3) $\sqrt[3]{375} - \frac{2}{7} \cdot \sqrt[3]{1029} + 0,75\sqrt[3]{192} - 0,2\sqrt[3]{3000};$

4) $\frac{4}{3}\sqrt[4]{162} - 0,2\sqrt[4]{1250} + 0,75\sqrt[4]{512} - 7\sqrt[4]{2}.$

1) Для решения выражения $2\sqrt[4]{81} + \sqrt[3]{-125} + \sqrt[6]{64}$ вычислим каждый корень по отдельности.

Корень четвертой степени из 81: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$. Тогда первое слагаемое равно $2 \cdot 3 = 6$.

Корень третьей степени из -125: $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.

Корень шестой степени из 64: $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.

Теперь сложим полученные значения: $6 + (-5) + 2 = 6 - 5 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

2) Для решения выражения $5\sqrt[3]{-8} + \sqrt[4]{16} - \sqrt[6]{729}$ вычислим каждый член по отдельности.

Вычислим $5\sqrt[3]{-8}$. Корень третьей степени из -8 равен -2, так как $(-2)^3 = -8$. Следовательно, $5 \cdot (-2) = -10$.

Вычислим $\sqrt[4]{16}$. Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.

Вычислим $\sqrt[6]{729}$. Корень шестой степени из 729 равен 3, так как $3^6 = 729$.

Теперь подставим все значения в исходное выражение: $-10 + 2 - 3 = -8 - 3 = -11$.

Ответ: -11

3) Для решения выражения $\sqrt[3]{375} - \frac{2}{7} \cdot \sqrt[3]{1029} + 0,75\sqrt[3]{192} - 0,2\sqrt[3]{3000}$ упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$.

$\frac{2}{7} \cdot \sqrt[3]{1029} = \frac{2}{7} \cdot \sqrt[3]{343 \cdot 3} = \frac{2}{7} \cdot \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = \frac{2}{7} \cdot 7\sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$0,75\sqrt[3]{192} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{64 \cdot 3} = \frac{3}{4}\sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = \frac{3}{4} \cdot 4\sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.

$0,2\sqrt[3]{3000} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{1000 \cdot 3} = \frac{1}{5}\sqrt[3]{10^3 \cdot 3} = \frac{1}{5} \cdot 10\sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

Подставим упрощенные значения в выражение: $5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3}$.

Сгруппируем слагаемые с общим множителем $\sqrt[3]{3}$: $(5 - 2 + 3 - 2)\sqrt[3]{3} = (3 + 1)\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $4\sqrt[3]{3}$

4) Для решения выражения $\frac{4}{3}\sqrt[4]{162} - 0,2\sqrt[4]{1250} + 0,75\sqrt[4]{512} - 7\sqrt[4]{2}$ упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня.

$\frac{4}{3}\sqrt[4]{162} = \frac{4}{3}\sqrt[4]{81 \cdot 2} = \frac{4}{3}\sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \frac{4}{3} \cdot 3\sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2}$.

$0,2\sqrt[4]{1250} = \frac{1}{5}\sqrt[4]{625 \cdot 2} = \frac{1}{5}\sqrt[4]{5^4 \cdot 2} = \frac{1}{5} \cdot 5\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2}$.

$0,75\sqrt[4]{512} = \frac{3}{4}\sqrt[4]{256 \cdot 2} = \frac{3}{4}\sqrt[4]{4^4 \cdot 2} = \frac{3}{4} \cdot 4\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.

Последний член $7\sqrt[4]{2}$ уже упрощен.

Подставим упрощенные значения в выражение: $4\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} + 3\sqrt[4]{2} - 7\sqrt[4]{2}$.

Сгруппируем слагаемые с общим множителем $\sqrt[4]{2}$: $(4 - 1 + 3 - 7)\sqrt[4]{2} = (3 + 3 - 7)\sqrt[4]{2} = (6 - 7)\sqrt[4]{2} = -\sqrt[4]{2}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{2}$

9.9. Докажите равенство:

1) $(2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63})^2 - 60\sqrt[3]{1000} = 100;$

2) $\frac{1}{3} (2\sqrt{150} + 3\sqrt{24} - 5\sqrt{54})^2 + 15\sqrt[3]{625} = 77;$

3) $(\sqrt[6]{5} + 2\sqrt{6} + \sqrt[3]{\sqrt{3}} + \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}} - \sqrt{3} = -2;$

4) $\sqrt{20.25} + \sqrt[3]{24} - \sqrt[4]{0.1296} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{375} + \frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = 4.4.$

1) Для доказательства равенства преобразуем левую часть выражения.

Сначала упростим выражения под корнями в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Также упростим второе слагаемое:

$60\sqrt[3]{1000} = 60 \cdot 10 = 600$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2 \cdot 5\sqrt{7} - 3 \cdot 2\sqrt{7} + 2 \cdot 3\sqrt{7})^2 - 600 = (10\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7})^2 - 600$

Выполним действия в скобках:

$(10\sqrt{7})^2 - 600 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 600 = 100 \cdot 7 - 600 = 700 - 600 = 100$

Таким образом, мы получили, что левая часть равна $100$, что соответствует правой части равенства.

$100 = 100$

Ответ: Равенство доказано.

2) Преобразуем левую часть выражения, чтобы доказать равенство.

Упростим подкоренные выражения в скобках:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Упростим второе слагаемое:

$15\sqrt[4]{625} = 15 \cdot \sqrt[4]{5^4} = 15 \cdot 5 = 75$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$\frac{1}{3}(2 \cdot 5\sqrt{6} + 3 \cdot 2\sqrt{6} - 5 \cdot 3\sqrt{6})^2 + 75 = \frac{1}{3}(10\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 15\sqrt{6})^2 + 75$

Выполним действия в скобках:

$\frac{1}{3}(16\sqrt{6} - 15\sqrt{6})^2 + 75 = \frac{1}{3}(\sqrt{6})^2 + 75$

Завершим вычисления:

$\frac{1}{3} \cdot 6 + 75 = 2 + 75 = 77$

Левая часть равна $77$, что доказывает равенство.

$77 = 77$

Ответ: Равенство доказано.

3) Для доказательства равенства преобразуем левую часть выражения.

Рассмотрим первый член в скобках: $\sqrt[6]{5+2\sqrt{6}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $5+2\sqrt{6}$ можно представить в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

Если $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = (\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2 = 3+2=5$ и $2ab = 2\sqrt{3}\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$.

Следовательно, $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.

Тогда $\sqrt[6]{5+2\sqrt{6}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2/6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = 2\sqrt[3]{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Объединим корни, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ для выражения под корнем:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = 2\sqrt[3]{2-3} = 2\sqrt[3]{-1}$

Так как $\sqrt[3]{-1} = -1$, получаем:

$2 \cdot (-1) = -2$

Левая часть равна $-2$, что доказывает равенство.

$-2 = -2$

Ответ: Равенство доказано.

4) Вычислим значение левой части выражения, чтобы доказать равенство.

Вычислим каждый член по отдельности:

1. $\sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{45}{10} = 4,5$.

2. $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

3. $\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

4. $-\frac{2}{5}\sqrt[3]{375} = -\frac{2}{5}\sqrt[3]{125 \cdot 3} = -\frac{2}{5} \cdot 5\sqrt[3]{3} = -2\sqrt[3]{3}$.

5. $\frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь сложим все полученные значения:

$4,5 + 2\sqrt[3]{3} - 0,6 - 2\sqrt[3]{3} + 0,5$

Слагаемые с $\sqrt[3]{3}$ взаимно уничтожаются:

$4,5 - 0,6 + 0,5 = 3,9 + 0,5 = 4,4$

Результат вычислений левой части равен $4,4$, что соответствует правой части.

$4,4 = 4,4$

Ответ: Равенство доказано.