Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.15. Докажите равенство:

1) $\frac{\sqrt[10]{27^{-1}} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt{27}} - \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = -1;$

2) $\frac{\sqrt[5]{80}}{\sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = 1,5.$

1) Докажем равенство, последовательно упрощая левую часть выражения. В исходном условии, по-видимому, содержится опечатка. Равенство выполняется, если в знаменателе дроби вместо $ \sqrt[5]{3^4} $ стоит $ \sqrt[5]{3^{-14}} $. Ниже приведено решение для исправленного выражения.

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[10]{27^{-4}} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^{-14}} \cdot \sqrt{27}} - \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = -1 $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим первое слагаемое (дробь). Для этого представим все числа под знаками корней в виде степеней числа 3 ($ 9 = 3^2, 27 = 3^3 $) и воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $.

Числитель дроби:$ \sqrt[10]{27^{-4}} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[10]{(3^3)^{-4}} \cdot \sqrt[5]{3^2} = 3^{3 \cdot (-4)/10} \cdot 3^{2/5} = 3^{-12/10} \cdot 3^{2/5} = 3^{-6/5} \cdot 3^{2/5} = 3^{-6/5 + 2/5} = 3^{-4/5} $.

Знаменатель дроби:$ \sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^{-14}} \cdot \sqrt{27} = 3^{1/2} \cdot 3^{-14/5} \cdot 3^{3/2} = 3^{1/2 + 3/2 - 14/5} = 3^{4/2 - 14/5} = 3^{2 - 14/5} = 3^{10/5 - 14/5} = 3^{-4/5} $.

Теперь можем вычислить значение дроби:$ \frac{3^{-4/5}}{3^{-4/5}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое:$ \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 1 + 91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{216}{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{15} = 2 $.

Подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$ 1 - 2 = -1 $.

Получили $ -1 = -1 $, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

2) Докажем равенство, последовательно упрощая левую часть выражения.

$ \frac{\sqrt{5\sqrt[4]{80}}}{\sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = 1,5 $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим первое слагаемое (дробь). Для этого преобразуем подкоренные выражения, используя свойство $ a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b} $, и разложим числа на простые множители ($ 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 $; $ 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $; $ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $).

Числитель дроби:$ \sqrt{5\sqrt[4]{80}} = \sqrt{\sqrt[4]{5^4 \cdot 80}} = \sqrt[8]{5^4 \cdot 2^4 \cdot 5} = \sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5} $.

Знаменатель дроби:$ \sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50} = \sqrt[8]{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} $.Приведем корни к общему показателю 8, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k} $:$ \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[4 \cdot 2]{(2 \cdot 5^2)^2} = \sqrt[8]{2^2 \cdot 5^4} $.Тогда знаменатель равен:$ \sqrt[8]{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[8]{2^2 \cdot 5^4} = \sqrt[8]{(2^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5^4)} = \sqrt[8]{2^{2+2} \cdot 5^{1+4}} = \sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5} $.

Теперь можем вычислить значение дроби:$ \frac{\sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5}}{\sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое:$ \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1 + 61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5 $.

Подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$ 1 + 0,5 = 1,5 $.

Получили $ 1,5 = 1,5 $, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

9.16. Постройте график уравнения:

1) $2y - 2 + x^2 = 0;$

2) $y^2 + x^2 = 4;$

3) $x^2 - 2x + y^2 = 0;$

4) $y - \sqrt{9 - x^2} = 0.$

1) Исходное уравнение: `$2y - 2 + x^2 = 0$`.

Выразим `$y$` через `$x$`:

`$2y = 2 - x^2$`

`$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$`

Это уравнение является уравнением параболы вида `$y = ax^2 + bx + c$`, где `$a = -\frac{1}{2}$`, `$b = 0$`, `$c = 1$`. Так как коэффициент `$a = -\frac{1}{2} < 0$`, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы `$(x_0, y_0)$`:

`$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$`

`$y_0 = 1 - \frac{1}{2}(0)^2 = 1$`

Вершина параболы находится в точке `$(0, 1)$`. Ось симметрии - ось Oy.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Если `$x = 2$`, то `$y = 1 - \frac{1}{2}(2)^2 = 1 - 2 = -1$`. Точка `$(2, -1)$`.

Если `$x = -2$`, то `$y = 1 - \frac{1}{2}(-2)^2 = 1 - 2 = -1$`. Точка `$(-2, -1)$`.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке `(0, 1)`, ветви которой направлены вниз.

2) Исходное уравнение: `$y^2 + x^2 = 4$`.

Перепишем его в стандартном виде: `$x^2 + y^2 = 2^2$`.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке `$(a, b)` и радиусом `$R$`: `$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$`. В нашем случае центр окружности находится в начале координат, точке `$(0, 0)$`, а радиус `$R = 2$`.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке `(0, 0)` и радиусом 2.

3) Исходное уравнение: `$x^2 - 2x + y^2 = 0$`.

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду уравнения окружности, выделим полный квадрат для переменной `$x$`. Для этого добавим и вычтем 1:

`$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$`

Свернем полный квадрат:

`$(x - 1)^2 + y^2 - 1 = 0$`

Перенесем 1 в правую часть:

`$(x - 1)^2 + y^2 = 1^2$`

Это уравнение окружности с центром в точке `$(a, b) = (1, 0)` и радиусом `$R = 1$`.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке `(1, 0)` и радиусом 1.

4) Исходное уравнение: `$y - \sqrt{9 - x^2} = 0$`.

Выразим `$y$`:

`$y = \sqrt{9 - x^2}$`

Найдем область определения функции (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

`$9 - x^2 \ge 0$`

`$x^2 \le 9$`

`$-3 \le x \le 3$`

Также, поскольку `$y$` равен значению арифметического квадратного корня, `$y \ge 0$`. Возведем обе части уравнения `$y = \sqrt{9 - x^2}$` в квадрат, чтобы избавиться от корня:

`$y^2 = 9 - x^2$`

`$x^2 + y^2 = 9$`

`$x^2 + y^2 = 3^2$`

Мы получили уравнение окружности с центром в начале координат `$(0, 0)` и радиусом `$R = 3$`. Однако, изначальное условие `$y \ge 0$` означает, что мы должны взять только ту часть окружности, которая лежит не ниже оси абсцисс (в верхней полуплоскости).

Ответ: Графиком уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке `(0, 0)` и радиусом 3, расположенная в I и II координатных четвертях.

9.17. Является ли корнем уравнения $x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0$ число:

1) $\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{3}$;

3) $2\sqrt{2}$;

4) $-\sqrt{2}$?

Для того чтобы проверить, является ли число корнем уравнения $x^3 + 2x^2 - 2x - 4 = 0$, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

1) $\sqrt{2}$

Подставим $x = \sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(\sqrt{2})^3 + 2(\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(\sqrt{2})^2 = 2$

$(\sqrt{2})^3 = (\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$2\sqrt{2} + 2 \cdot 2 - 2\sqrt{2} - 4 = 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (4 - 4) = 0 + 0 = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число $\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

2) $\sqrt{3}$

Подставим $x = \sqrt{3}$ в левую часть уравнения:

$(\sqrt{3})^3 + 2(\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3}) - 4$

Вычислим степени:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Подставим полученные значения в выражение:

$3\sqrt{3} + 2 \cdot 3 - 2\sqrt{3} - 4 = 3\sqrt{3} + 6 - 2\sqrt{3} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + (6 - 4) = \sqrt{3} + 2$

Получили $\sqrt{3} + 2 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число $\sqrt{3}$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

3) $2\sqrt{2}$

Подставим $x = 2\sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(2\sqrt{2})^3 + 2(2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$

$(2\sqrt{2})^3 = (2\sqrt{2})^2 \cdot 2\sqrt{2} = 8 \cdot 2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$16\sqrt{2} + 2 \cdot 8 - 2(2\sqrt{2}) - 4 = 16\sqrt{2} + 16 - 4\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(16\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (16 - 4) = 12\sqrt{2} + 12$

Получили $12\sqrt{2} + 12 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число $2\sqrt{2}$ не является корнем уравнения.

Ответ: нет, не является.

4) $-\sqrt{2}$

Подставим $x = -\sqrt{2}$ в левую часть уравнения:

$(-\sqrt{2})^3 + 2(-\sqrt{2})^2 - 2(-\sqrt{2}) - 4$

Вычислим степени:

$(-\sqrt{2})^2 = 2$

$(-\sqrt{2})^3 = -(\sqrt{2})^3 = -2\sqrt{2}$

Подставим полученные значения в выражение:

$-2\sqrt{2} + 2 \cdot 2 - 2(-\sqrt{2}) - 4 = -2\sqrt{2} + 4 + 2\sqrt{2} - 4$

Сгруппируем и упростим:

$(-2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (4 - 4) = 0 + 0 = 0$

Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число $-\sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Ответ: да, является.

9.18. Найдите значение выражения:

1) $4^3 \cdot 2^{-3} \cdot 32 : 8^3;$

2) $9^3 \cdot 3^{-3} \cdot 243 : 27^2.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $4^3 \cdot 2^{-3} \cdot 32 : 8^3$, представим все основания степеней в виде степени числа 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$, $32 = 2^5$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(2^2)^3 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : (2^3)^3$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : 2^{3 \cdot 3} = 2^6 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 : 2^9$

Теперь используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$. Выполним действия с показателями степеней слева направо:

$2^{6 + (-3) + 5 - 9} = 2^{3 + 5 - 9} = 2^{8 - 9} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для того чтобы найти значение выражения $9^3 \cdot 3^{-3} \cdot 243 : 27^2$, представим все основания степеней в виде степени числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$, $243 = 3^5$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(3^2)^3 \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : (3^3)^2$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : 3^{3 \cdot 2} = 3^6 \cdot 3^{-3} \cdot 3^5 : 3^6$

Используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$), выполним действия с показателями степеней:

$3^{6 + (-3) + 5 - 6} = 3^{3 + 5 - 6} = 3^{8 - 6} = 3^2$

Вычислим итоговое значение:

$3^2 = 9$

Ответ: 9.