Страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.15. Сравните:

1) $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$;

2) $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}}$ и $(\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$;

3) $(\frac{\pi}{5})^{1.2}$ и $(\frac{\pi}{6})^{1.2}$;

4) $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$ и $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

1) Сравнить $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}}$ и $(\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$

В данном примере нам нужно сравнить два числа, возведенные в одинаковую степень. Показатель степени $\sqrt{5}$ является положительным числом, так как $5 > 0$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = \sqrt{5}$. Так как показатель степени $c = \sqrt{5} > 0$, эта функция является возрастающей для всех положительных $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c < b^c$.

Теперь сравним основания степеней: $\frac{2}{9}$ и $\frac{2}{8}$.

Сократим вторую дробь: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Теперь сравним $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю $36$:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{8}{36}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{9}{36}$

Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{36} < \frac{9}{36}$, следовательно, $\frac{2}{9} < \frac{2}{8}$.

Поскольку основания положительны, $\frac{2}{9} < \frac{2}{8}$, а функция $y = x^{\sqrt{5}}$ является возрастающей, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении:

$(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

Ответ: $(\frac{2}{9})^{\sqrt{5}} < (\frac{2}{8})^{\sqrt{5}}$.

2) Сравнить $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}}$ и $(\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$

В этом примере мы также сравниваем два числа, возведенные в одинаковую степень. Показатель степени $-\sqrt{3}$ является отрицательным числом, так как $\sqrt{3} > 0$.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = -\sqrt{3}$. Так как показатель степени $c = -\sqrt{3} < 0$, эта функция является убывающей для всех положительных $x$. Это означает, что для любых положительных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c > b^c$.

Сравним основания степеней: $\frac{\sqrt{5}}{3}$ и $\frac{3\sqrt{5}}{4}$.

Чтобы сравнить эти дроби, мы можем сравнить $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$, так как общий множитель $\sqrt{5} > 0$ не влияет на знак неравенства.

$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$. Так как $4 < 9$, то $\frac{1}{3} < \frac{3}{4}$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$.

Поскольку основания положительны, $\frac{\sqrt{5}}{3} < \frac{3\sqrt{5}}{4}$, а функция $y = x^{-\sqrt{3}}$ является убывающей, то знак неравенства для степеней будет обратным:

$(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt{5}}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{3\sqrt{5}}{4})^{-\sqrt{3}}$.

3) Сравнить $(\frac{\pi}{5})^{1.2}$ и $(\frac{\pi}{6})^{1.2}$

Показатели степеней одинаковы и равны $1.2$. Так как $1.2 > 0$, показатель степени является положительным.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = 1.2$. Поскольку $c > 0$, эта функция является возрастающей для всех $x > 0$. Это значит, что для положительных оснований $a$ и $b$, если $a > b$, то $a^c > b^c$.

Теперь сравним основания: $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{\pi}{6}$.

Так как $5 < 6$, то их обратные величины соотносятся как $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Поскольку число $\pi \approx 3.14159$ положительно, мы можем умножить обе части неравенства на $\pi$, не меняя знака:

$\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$.

Основания положительны, $\frac{\pi}{5} > \frac{\pi}{6}$, и функция $y = x^{1.2}$ является возрастающей. Следовательно, значения степеней будут находиться в том же соотношении:

$(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{5})^{1.2} > (\frac{\pi}{6})^{1.2}$.

4) Сравнить $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8}$ и $(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$

Показатели степеней одинаковы и равны $-2.8$. Так как $-2.8 < 0$, показатель степени является отрицательным.

Рассмотрим степенную функцию $y = x^c$ с показателем $c = -2.8$. Поскольку $c < 0$, эта функция является убывающей для всех $x > 0$. Это значит, что для положительных оснований $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^c > b^c$.

Теперь сравним основания: $\frac{\sqrt[4]{2}}{3}$ и $\frac{\sqrt[4]{2}}{2}$.

Обе дроби имеют одинаковый положительный числитель $\sqrt[4]{2}$. Знаменатели равны $3$ и $2$. Так как $3 > 2$, то для обратных величин справедливо $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Умножив на положительное число $\sqrt[4]{2}$, получим:

$\frac{\sqrt[4]{2}}{3} < \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$.

Основания положительны, $\frac{\sqrt[4]{2}}{3} < \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$, и функция $y = x^{-2.8}$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства для степеней изменится на противоположный:

$(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

Ответ: $(\frac{\sqrt[4]{2}}{3})^{-2.8} > (\frac{\sqrt[4]{2}}{2})^{-2.8}$.

Упростите (10.16—10.17):

10.16. 1) $
\frac{\left(a^{\frac{1}{3}}-b\right)^2 \cdot \left(\frac{b}{a^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b}+1\right)}{\frac{b^2}{a^{\frac{2}{3}}}-\frac{b}{a^{\frac{1}{3}}}+\frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^2}-\frac{a^{\frac{1}{3}}}{b}};$

2) $
\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}+a^{\frac{1}{8}}+1} + \frac{1}{a^{\frac{1}{4}}-a^{\frac{1}{8}}+1} - \frac{2\sqrt{a}-2}{a^{\frac{1}{2}}-a^{\frac{1}{4}}+1}.$

1)

Для упрощения данного выражения введем замену $x = a^{\frac{1}{3}}$. Тогда $x^2 = a^{\frac{2}{3}}$ и $x^3 = a$.

Выражение примет вид:

$\frac{\left(x - b\right)^2 \cdot \left(\frac{b}{x} + \frac{x}{b} + 1\right)}{\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x} + \frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b}}$

Рассмотрим числитель. Преобразуем второй множитель, приведя к общему знаменателю:

$\frac{b}{x} + \frac{x}{b} + 1 = \frac{b^2 + x^2 + xb}{xb}$

Тогда числитель равен:

$(x-b)^2 \cdot \frac{x^2+xb+b^2}{xb} = (x-b) \cdot \frac{(x-b)(x^2+xb+b^2)}{xb}$

Используя формулу разности кубов $x^3 - b^3 = (x-b)(x^2+xb+b^2)$, получаем:

$(x-b) \cdot \frac{x^3 - b^3}{xb}$

Теперь рассмотрим знаменатель. Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x} + \frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b} = \left(\frac{b^2}{x^2} - \frac{b}{x}\right) + \left(\frac{x^2}{b^2} - \frac{x}{b}\right) = \frac{b(b-x)}{x^2} + \frac{x(x-b)}{b^2}$

Вынесем общий множитель $(x-b)$:

$(x-b)\left(\frac{x}{b^2} - \frac{b}{x^2}\right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $b^2x^2$:

$(x-b)\left(\frac{x \cdot x^2 - b \cdot b^2}{b^2x^2}\right) = (x-b)\frac{x^3-b^3}{b^2x^2}$

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{(x-b) \frac{x^3-b^3}{xb}}{(x-b)\frac{x^3-b^3}{b^2x^2}} = \frac{\frac{1}{xb}}{\frac{1}{b^2x^2}} = \frac{1}{xb} \cdot \frac{b^2x^2}{1} = \frac{b^2x^2}{xb} = bx$

Выполним обратную замену $x = a^{\frac{1}{3}}$:

$b \cdot a^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $b a^{\frac{1}{3}}$.

2)

Для упрощения выражения введем замену $y = a^{\frac{1}{8}}$. Тогда $y^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $y^4 = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$.

Выражение примет вид:

$\frac{1}{y^2 + y + 1} + \frac{1}{y^2 - y + 1} - \frac{2y^4 - 2}{y^4 - y^2 + 1}$

Сначала сложим первые две дроби. Общий знаменатель для них: $(y^2+y+1)(y^2-y+1) = (y^2+1)^2 - y^2 = y^4+2y^2+1-y^2 = y^4+y^2+1$.

$\frac{(y^2-y+1) + (y^2+y+1)}{y^4+y^2+1} = \frac{2y^2+2}{y^4+y^2+1} = \frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1}$

Теперь вычтем из полученного результата третью дробь:

$\frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1} - \frac{2y^4-2}{y^4-y^2+1} = \frac{2(y^2+1)}{y^4+y^2+1} - \frac{2(y^4-1)}{y^4-y^2+1}$

Приведем к общему знаменателю $(y^4+y^2+1)(y^4-y^2+1) = (y^4+1)^2 - (y^2)^2 = y^8+2y^4+1-y^4 = y^8+y^4+1$.

Числитель будет равен:

$2(y^2+1)(y^4-y^2+1) - 2(y^4-1)(y^4+y^2+1)$

Раскроем скобки. Используем тождества $k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)$ и $k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$.

$2(y^2+1)((y^2)^2-y^2+1) = 2((y^2)^3+1) = 2(y^6+1)$.

$2(y^4-1)(y^4+y^2+1) = 2(y^2-1)(y^2+1)(y^4+y^2+1) = 2(y^2-1) \cdot ((y^2)^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 + (y^2)+ (y^2) ...$ Нет, эта формула не подходит.

Раскроем скобки напрямую:

$2(y^2+1)(y^4-y^2+1) = 2(y^6 - y^4 + y^2 + y^4 - y^2 + 1) = 2(y^6+1)$.

$2(y^4-1)(y^4+y^2+1) = 2(y^8 + y^6 + y^4 - y^4 - y^2 - 1) = 2(y^8 + y^6 - y^2 - 1)$.

Вычтем второе из первого:

$2(y^6+1) - 2(y^8 + y^6 - y^2 - 1) = 2(y^6 + 1 - y^8 - y^6 + y^2 + 1) = 2(-y^8 + y^2 + 2)$.

Таким образом, всё выражение равно:

$\frac{2(-y^8 + y^2 + 2)}{y^8 + y^4 + 1}$

Выполним обратную замену: $y^2 = a^{\frac{1}{4}}$, $y^4 = a^{\frac{1}{2}}$, $y^8 = a$.

$\frac{2(-a + a^{\frac{1}{4}} + 2)}{a + a^{\frac{1}{2}} + 1}$

Ответ: $\frac{2(-a + a^{\frac{1}{4}} + 2)}{a + \sqrt{a} + 1}$.

10.17. 1) $ \frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-3a^{-\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}}-a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2-4a+3}; $

2) $ \left(\frac{x^{\frac{4}{3}}+8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}}-2\sqrt[3]{xy}+4y^{\frac{2}{3}}} - 2\sqrt[3]{xy}\right)^6 $

1) Упростим данное выражение по частям. Рассмотрим каждую дробь отдельно.

Первая дробь: $\frac{2a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}}$. Чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, умножим числитель и знаменатель на $a^{\frac{1}{3}}$:

$\frac{2a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}}) \cdot a^{\frac{1}{3}}} = \frac{2a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} - 3a^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}} = \frac{2a^0}{a^1 - 3a^0} = \frac{2 \cdot 1}{a - 3 \cdot 1} = \frac{2}{a-3}$.

Вторая дробь: $\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}}$. Вынесем в знаменателе общий множитель $a^{\frac{2}{3}}$ за скобки:

$\frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}} - 1)} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1)} = \frac{1}{a-1}$.

Третья дробь: $\frac{a+1}{a^2 - 4a + 3}$. Разложим квадратный трехчлен в знаменателе на множители. Для этого решим уравнение $a^2 - 4a + 3 = 0$. По теореме Виета корни равны $a_1=1$ и $a_2=3$. Следовательно, $a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a+1}{(a-1)(a-3)}$.

Теперь соберем все упрощенные дроби вместе:

$\frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$\frac{2(a-1)}{(a-3)(a-1)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} = \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a - a - a) + (-2 + 3 - 1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0a + 0}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0$.

Ответ: $0$.

2) Упростим выражение $(\frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2\sqrt[3]{xy} + 4y^{\frac{2}{3}}} - 2\sqrt[3]{xy})^6$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Начнем с дроби. Перепишем все корни в виде степеней: $2\sqrt[3]{xy} = 2(xy)^{\frac{1}{3}} = 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

Дробь имеет вид: $\frac{x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y}{x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}}}$.

Рассмотрим знаменатель: $x^{\frac{2}{3}} - 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4y^{\frac{2}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 2(x^{\frac{1}{3}})(2y^{\frac{1}{3}}) + (2y^{\frac{1}{3}})^2$. Это выражение является неполным квадратом разности для $A = x^{\frac{1}{3}}$ и $B = 2y^{\frac{1}{3}}$, т.е. $A^2 - AB + B^2$.

Теперь рассмотрим числитель. Вынесем общий множитель $x^{\frac{1}{3}}$ за скобки:

$x^{\frac{4}{3}} + 8x^{\frac{1}{3}}y = x^{\frac{1}{3}}(x + 8y)$.

Выражение в скобках $x+8y$ можно представить как сумму кубов: $x+8y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (2y^{\frac{1}{3}})^3 = A^3 + B^3$.

Таким образом, дробь представляет собой отношение $\frac{x^{\frac{1}{3}}(A^3+B^3)}{A^2-AB+B^2}$.

Используя формулу суммы кубов $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$, упростим дробь:

$\frac{x^{\frac{1}{3}}(A+B)(A^2-AB+B^2)}{A^2-AB+B^2} = x^{\frac{1}{3}}(A+B)$.

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}}) = x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy}$.

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение в больших скобках:

$(x^{\frac{2}{3}} + 2\sqrt[3]{xy}) - 2\sqrt[3]{xy} = x^{\frac{2}{3}}$.

Осталось возвести полученный результат в шестую степень:

$(x^{\frac{2}{3}})^6 = x^{\frac{2}{3} \cdot 6} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$.

Ответ: $x^4$.