Страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем?

2. Всегда ли можно вычислить точное значение степени с дробным показателем? Ответ обоснуйте.

3. Справедливо ли утверждать, что любое действительное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Ответ обоснуйте.

4. Чем отличается степень с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем?

1. В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем?

Сходство и различие этих двух видов степеней заключаются в их определении, области допустимых значений для основания и сохранении основных свойств.

Сходство:

Основное сходство заключается в том, что для обоих видов степеней (при соблюдении ограничений на основание) справедливы одни и те же свойства. Для любого $a > 0$ и любых целых или дробных показателей $p$ и $q$ верны следующие тождества:

1. $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются).

2. $a^p : a^q = a^{p-q}$ (при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются).

3. $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

4. $(ab)^p = a^p b^p$ (степень произведения равна произведению степеней).

5. $(a/b)^p = a^p / b^p$ (степень частного равна частному степеней).

Различие:

Главное различие кроется в определении и в требованиях к основанию степени $a$.

1. Определение:

- Степень с целым показателем $n$ определяется как результат многократного умножения числа на себя ($a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$), а также $a^0 = 1$ и $a^{-n} = 1/a^n$. Это алгебраическая операция, сводящаяся к умножению или делению.

- Степень с дробным показателем $m/n$ определяется через корень: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$. Эта операция включает в себя извлечение корня.

2. Требования к основанию:

- Для целого положительного показателя основание $a$ может быть любым действительным числом.

- Для целого отрицательного или нулевого показателя основание $a$ не может быть равно нулю ($a \neq 0$).

- Для дробного показателя основание $a$ в общем случае должно быть неотрицательным ($a \geq 0$), а если дробный показатель отрицателен, то строго положительным ($a > 0$). Это связано с тем, что корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

Ответ: Сходство в том, что для них действуют одинаковые свойства (правила умножения, деления, возведения в степень). Различие — в определении (целая степень — умножение, дробная — извлечение корня) и в ограничениях на основание (для дробной степени основание должно быть неотрицательным).

2. Всегда ли можно вычислить точное значение степени с дробным показателем? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Вычисление значения степени с дробным показателем $a^{m/n}$ сводится к вычислению корня $\sqrt[n]{a^m}$. Результат этой операции может быть как рациональным числом (которое можно записать в виде конечной или периодической десятичной дроби), так и иррациональным числом (которое представляется бесконечной непериодической десятичной дробью).

Обоснование:

1. Случаи, когда точное значение вычислимо: Если подкоренное выражение $a^m$ является точной $n$-й степенью некоторого рационального числа, то значение можно вычислить точно. Например:

$27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{(3^3)^2} = \sqrt[3]{(3^2)^3} = 3^2 = 9$.

$6.25^{1/2} = \sqrt{6.25} = \sqrt{(2.5)^2} = 2.5$.

В этих случаях мы получаем точное рациональное число.

2. Случаи, когда точное значение невычислимо (в виде конечной дроби): Если результат извлечения корня является иррациональным числом, то мы не можем записать его точное значение в виде конечной или периодической десятичной дроби. Мы можем лишь найти его приближенное значение. Например:

$2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.41421356...$

$5^{1/3} = \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594...$

Числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{5}$ являются иррациональными. Их десятичное представление бесконечно и непериодично. Сам символ, например $\sqrt{2}$, является точной записью этого числа, но его "вычисление" даст лишь приближение.

Ответ: Нет, не всегда. Точное значение в виде конечного числа или простой дроби можно вычислить только тогда, когда результат извлечения корня является рациональным числом. Во многих случаях, например $3^{1/2}$, результат является иррациональным числом, для которого можно найти только приближенное значение.

3. Справедливо ли утверждать, что любое действительное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Ответ обоснуйте.

Нет, это утверждение не справедливо.

Обоснование:

Множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$) состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и иррациональных чисел ($\mathbb{I}$).

1. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Именно и только рациональные числа представляются в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Например:

$1/3 = 0.3333... = 0.(3)$

$5/22 = 0.2272727... = 0.2(27)$

Даже конечные десятичные дроби можно считать периодическими с периодом 0, например: $1/4 = 0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$.

2. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $p/q$. По определению, их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами иррациональных чисел являются:

Число $\pi \approx 3.1415926535...$

Число $e \approx 2.7182818284...$

Корень $\sqrt{2} \approx 1.4142135623...$

Поскольку действительные числа включают в себя иррациональные числа, а иррациональные числа не могут быть представлены в виде периодической дроби, исходное утверждение неверно.

Ответ: Нет, не справедливо. В виде бесконечной периодической десятичной дроби можно представить только рациональные числа. Иррациональные числа, которые также являются действительными, представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

4. Чем отличается степень с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем?

Основное отличие степени с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем заключается в способе их определения и вычисления.

1. Степень с рациональным показателем ($a^r$, где $r = m/n$ — рациональное число) определяется алгебраически через операцию извлечения корня:$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.Для вычисления этого значения нужно возвести основание $a$ в целую степень $m$ и затем извлечь корень степени $n$. Это конечный набор алгебраических действий (при условии $a>0$).

2. Степень с иррациональным показателем ($a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число) не может быть определена через корень, так как иррациональное число нельзя представить в виде дроби $m/n$. Она определяется с помощью предельного перехода, то есть аналитически.

Для этого выбирают последовательность рациональных чисел $r_1, r_2, r_3, ...$, которая сходится к иррациональному числу $\alpha$ (то есть $\lim_{k \to \infty} r_k = \alpha$). Тогда степень $a^\alpha$ определяется как предел последовательности степеней с этими рациональными показателями:

$a^\alpha = \lim_{k \to \infty} a^{r_k}$

Например, чтобы определить $3^\sqrt{2}$, мы рассматриваем последовательность рациональных приближений для $\sqrt{2}$ (например, $1.4, 1.41, 1.414, ...$) и вычисляем предел последовательности $3^{1.4}, 3^{1.41}, 3^{1.414}, ...$. Этот предел и будет являться значением $3^\sqrt{2}$.

Таким образом, значение степени с иррациональным показателем — это результат бесконечного процесса (нахождения предела), а не конечной алгебраической операции.

Ответ: Степень с рациональным показателем определяется алгебраически через извлечение корня ($a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$). Степень с иррациональным показателем определяется аналитически через предел последовательности степеней с рациональными показателями.

10.1. Запишите следующие степени с дробными показателями в виде корней:

1) $11^{\frac{2}{3}}$;

2) $0,7^{-\frac{5}{4}}$;

3) $(\frac{3}{10})^{0.75}$;

4) $(-21)^{\frac{6}{5}}$;

5) $a^{-2.5}$;

6) $(b+1)^{1.5}$;

7) $(a - 2b)^{\frac{7}{2}}$;

8) $(x - y^2)^{-\frac{7}{4}}$.

1) Чтобы записать степень с дробным показателем в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a$ — основание степени, $m$ — числитель показателя, $n$ — знаменатель показателя.

Для выражения $11^{\frac{2}{3}}$, основание $a = 11$, числитель $m = 2$, знаменатель $n = 3$.

Применяя формулу, получаем: $11^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{11^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{11^2}$.

2) Для выражения $0,7^{-\frac{5}{4}}$, сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:

$0,7^{-\frac{5}{4}} = \frac{1}{0,7^{\frac{5}{4}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = 0,7$, $m = 5$, $n = 4$:

$0,7^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{0,7^5}$.

Таким образом, итоговое выражение: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{0,7^5}}$.

3) Для выражения $(\frac{3}{10})^{0,75}$, сначала представим десятичный показатель $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}}$.

Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = \frac{3}{10}$, $m = 3$, $n = 4$:

$(\frac{3}{10})^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{(\frac{3}{10})^3}$.

4) Для выражения $(-21)^{1\frac{1}{5}}$, сначала преобразуем смешанное число в показателе в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

Выражение принимает вид $(-21)^{\frac{6}{5}}$.

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a = -21$, $m = 6$, $n = 5$, получаем:

$(-21)^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{(-21)^6}$. Поскольку степень 6 четная, можно также записать как $\sqrt[5]{21^6}$.

Ответ: $\sqrt[5]{(-21)^6}$.

5) Для выражения $a^{-2,5}$, сначала преобразуем его, используя свойство степени с отрицательным показателем, а затем представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$a^{-2,5} = \frac{1}{a^{2,5}} = \frac{1}{a^{\frac{5}{2}}}$.

Теперь применим к знаменателю формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $m = 5$, $n = 2$. Корень второй степени — это квадратный корень, и показатель 2 принято не писать.

$\frac{1}{a^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a^5}}$.

6) Для выражения $(b+1)^{1,5}$, сначала представим показатель $1,5$ в виде дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид $(b+1)^{\frac{3}{2}}$.

Применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для основания $a = (b+1)$, где $m=3$, $n=2$:

$(b+1)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{(b+1)^3}$.

Ответ: $\sqrt{(b+1)^3}$.

7) Для выражения $(a-2b)^{3\frac{1}{2}}$, сначала преобразуем смешанное число в показателе в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид $(a-2b)^{\frac{7}{2}}$.

Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a = (a-2b)$, $m = 7$, $n = 2$, получаем:

$(a-2b)^{\frac{7}{2}} = \sqrt{(a-2b)^7}$.

Ответ: $\sqrt{(a-2b)^7}$.

8) Для выражения $(x-y^2)^{-\frac{7}{4}}$, сначала избавимся от отрицательного показателя:

$(x-y^2)^{-\frac{7}{4}} = \frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a = (x-y^2)$, $m = 7$, $n = 4$:

$\frac{1}{(x-y^2)^{\frac{7}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[4]{(x-y^2)^7}}$.

10.2. Вычислите:

1) $8^{\frac{1}{3}}$; 2) $16^{\frac{3}{4}}$; 3) $64^{-\frac{1}{2}}$; 4) $0.25^{-\frac{1}{2}}$;

5) $0.36^{\frac{1}{2}}$; 6) $(-27)^{-\frac{4}{3}}$; 7) $(\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}}$; 8) $32^{-\frac{1}{5}}$.

1) Для вычисления $8^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $a=8, m=1, n=3$. $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8^1} = \sqrt[3]{8}$. Так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$, то кубический корень из 8 равен 2. Другой способ — представить основание в виде степени: $8=2^3$. Тогда, используя свойство $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$, получаем: $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

2) Для вычисления $16^{\frac{3}{4}}$ представим основание 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$. $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}}$. По свойству степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ получаем: $2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. Альтернативно, можно сначала извлечь корень: $16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

3) Для вычисления $64^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. $64^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{2}}}$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $\frac{1}{64^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

4) Для вычисления $0.25^{-\frac{1}{2}}$ сначала представим десятичную дробь $0.25$ в виде обыкновенной дроби: $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. $0.25^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}$. Используем свойство степени с отрицательным показателем для дроби: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{1})^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2

5) Для вычисления $0.36^{\frac{1}{2}}$ представим десятичную дробь $0.36$ в виде обыкновенной: $0.36 = \frac{36}{100}$. $0.36^{\frac{1}{2}} = (\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $(\frac{36}{100})^{\frac{1}{2}} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0.6$.

Ответ: 0.6

6) Для вычисления $(-27)^{-\frac{4}{3}}$ применим свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $(-27)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-27)^{\frac{4}{3}}}$. Теперь вычислим знаменатель. Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Так как знаменатель показателя (3) нечетный, корень из отрицательного числа определен. $(-27)^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{-27})^4$. Кубический корень из -27 равен -3, так как $(-3)^3 = -27$. $(\sqrt[3]{-27})^4 = (-3)^4 = 81$. Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{81}$.

Ответ: $\frac{1}{81}$

7) Для вычисления $(2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}$ сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$. $(2\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{9}{4})^{-\frac{1}{2}}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{9}{4})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}} = \frac{4^{\frac{1}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

8) Для вычисления $32^{-\frac{1}{5}}$ используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$. Степень с показателем $\frac{1}{5}$ означает корень пятой степени: $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}}$. Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$. Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

10.3. Запишите следующие корни в виде степени с дробным показателем:

1) $ \sqrt[3]{a^2} $; 2) $ \sqrt[3]{b^3} $; 3) $ \sqrt[3]{a^2 + b^2} $; 4) $ \sqrt[3]{x - y} $;

5) $ \sqrt[5]{a^2 b^3} $; 6) $ \frac{1}{\sqrt{a}} $; 7) $ \frac{1}{\sqrt{a + b}} $; 8) $ \frac{2}{\sqrt[3]{a - b}} $.

1) По определению степени с дробным показателем, корень n-ой степени из числа в степени m можно записать как это число в степени m/n: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. В данном выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=2$.

Таким образом, $\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$

2) Используем ту же формулу $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$. Здесь показатель корня $n=5$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$.

Следовательно, $\sqrt[5]{b^3} = b^{\frac{3}{5}}$.

Ответ: $b^{\frac{3}{5}}$

3) В этом примере подкоренное выражение представляет собой сумму $(a^2 + b^2)$, которую мы рассматриваем как единое целое. Степень этого выражения равна $m=1$, а показатель корня $n=3$.

Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{a^2 + b^2} = \sqrt[3]{(a^2 + b^2)^1} = (a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(a^2 + b^2)^{\frac{1}{3}}$

4) Аналогично предыдущему пункту, подкоренное выражение — это $(x - y)$ в степени $m=1$. Показатель корня $n=3$.

Применяем формулу:

$\sqrt[3]{x - y} = \sqrt[3]{(x - y)^1} = (x - y)^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(x - y)^{\frac{1}{3}}$

5) Здесь подкоренное выражение — это произведение $a^2 b^3$. Показатель корня $n=5$.

$\sqrt[5]{a^2 b^3} = (a^2 b^3)^{\frac{1}{5}}$.

Используя свойство степени $(xy)^z = x^z y^z$, можно также раскрыть скобки:

$(a^2 b^3)^{\frac{1}{5}} = (a^2)^{\frac{1}{5}} (b^3)^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{5}} b^{\frac{3}{5}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{5}}b^{\frac{3}{5}}$

6) В данном случае корень находится в знаменателе. Сначала представим корень в виде степени. Квадратный корень $\sqrt{a}$ эквивалентен $\sqrt[2]{a^1}$, что равно $a^{\frac{1}{2}}$.

Теперь исходное выражение выглядит как $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{x^k} = x^{-k}$, получаем:

$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$

7) Этот пример похож на предыдущий. Сначала преобразуем знаменатель.

$\sqrt{a+b}$ — это квадратный корень из выражения $(a+b)$, то есть $\sqrt[2]{(a+b)^1} = (a+b)^{\frac{1}{2}}$.

Теперь исходное выражение: $\frac{1}{(a+b)^{\frac{1}{2}}}$.

Применяя правило отрицательной степени, получаем:

$(a+b)^{-\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(a+b)^{-\frac{1}{2}}$

8) Здесь у нас есть множитель 2 в числителе и корень в знаменателе.

Преобразуем корень в знаменателе: $\sqrt[3]{a-b} = \sqrt[3]{(a-b)^1} = (a-b)^{\frac{1}{3}}$.

Исходное выражение принимает вид $\frac{2}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.

Это можно переписать как $2 \cdot \frac{1}{(a-b)^{\frac{1}{3}}}$.

Используя свойство отрицательной степени, получаем:

$2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $2(a-b)^{-\frac{1}{3}}$