Вопросы, страница 84 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем?

2. Всегда ли можно вычислить точное значение степени с дробным показателем? Ответ обоснуйте.

3. Справедливо ли утверждать, что любое действительное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Ответ обоснуйте.

4. Чем отличается степень с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем?

1. В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем?

Сходство и различие этих двух видов степеней заключаются в их определении, области допустимых значений для основания и сохранении основных свойств.

Сходство:

Основное сходство заключается в том, что для обоих видов степеней (при соблюдении ограничений на основание) справедливы одни и те же свойства. Для любого $a > 0$ и любых целых или дробных показателей $p$ и $q$ верны следующие тождества:

1. $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$ (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются).

2. $a^p : a^q = a^{p-q}$ (при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются).

3. $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$ (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

4. $(ab)^p = a^p b^p$ (степень произведения равна произведению степеней).

5. $(a/b)^p = a^p / b^p$ (степень частного равна частному степеней).

Различие:

Главное различие кроется в определении и в требованиях к основанию степени $a$.

1. Определение:

- Степень с целым показателем $n$ определяется как результат многократного умножения числа на себя ($a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$), а также $a^0 = 1$ и $a^{-n} = 1/a^n$. Это алгебраическая операция, сводящаяся к умножению или делению.

- Степень с дробным показателем $m/n$ определяется через корень: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$. Эта операция включает в себя извлечение корня.

2. Требования к основанию:

- Для целого положительного показателя основание $a$ может быть любым действительным числом.

- Для целого отрицательного или нулевого показателя основание $a$ не может быть равно нулю ($a \neq 0$).

- Для дробного показателя основание $a$ в общем случае должно быть неотрицательным ($a \geq 0$), а если дробный показатель отрицателен, то строго положительным ($a > 0$). Это связано с тем, что корень четной степени из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.

Ответ: Сходство в том, что для них действуют одинаковые свойства (правила умножения, деления, возведения в степень). Различие — в определении (целая степень — умножение, дробная — извлечение корня) и в ограничениях на основание (для дробной степени основание должно быть неотрицательным).

2. Всегда ли можно вычислить точное значение степени с дробным показателем? Ответ обоснуйте.

Нет, не всегда. Вычисление значения степени с дробным показателем $a^{m/n}$ сводится к вычислению корня $\sqrt[n]{a^m}$. Результат этой операции может быть как рациональным числом (которое можно записать в виде конечной или периодической десятичной дроби), так и иррациональным числом (которое представляется бесконечной непериодической десятичной дробью).

Обоснование:

1. Случаи, когда точное значение вычислимо: Если подкоренное выражение $a^m$ является точной $n$-й степенью некоторого рационального числа, то значение можно вычислить точно. Например:

$27^{2/3} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{(3^3)^2} = \sqrt[3]{(3^2)^3} = 3^2 = 9$.

$6.25^{1/2} = \sqrt{6.25} = \sqrt{(2.5)^2} = 2.5$.

В этих случаях мы получаем точное рациональное число.

2. Случаи, когда точное значение невычислимо (в виде конечной дроби): Если результат извлечения корня является иррациональным числом, то мы не можем записать его точное значение в виде конечной или периодической десятичной дроби. Мы можем лишь найти его приближенное значение. Например:

$2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.41421356...$

$5^{1/3} = \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594...$

Числа $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{5}$ являются иррациональными. Их десятичное представление бесконечно и непериодично. Сам символ, например $\sqrt{2}$, является точной записью этого числа, но его "вычисление" даст лишь приближение.

Ответ: Нет, не всегда. Точное значение в виде конечного числа или простой дроби можно вычислить только тогда, когда результат извлечения корня является рациональным числом. Во многих случаях, например $3^{1/2}$, результат является иррациональным числом, для которого можно найти только приближенное значение.

3. Справедливо ли утверждать, что любое действительное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби? Ответ обоснуйте.

Нет, это утверждение не справедливо.

Обоснование:

Множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$) состоит из двух непересекающихся подмножеств: рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и иррациональных чисел ($\mathbb{I}$).

1. Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Именно и только рациональные числа представляются в виде бесконечных периодических десятичных дробей. Например:

$1/3 = 0.3333... = 0.(3)$

$5/22 = 0.2272727... = 0.2(27)$

Даже конечные десятичные дроби можно считать периодическими с периодом 0, например: $1/4 = 0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$.

2. Иррациональные числа — это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $p/q$. По определению, их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Примерами иррациональных чисел являются:

Число $\pi \approx 3.1415926535...$

Число $e \approx 2.7182818284...$

Корень $\sqrt{2} \approx 1.4142135623...$

Поскольку действительные числа включают в себя иррациональные числа, а иррациональные числа не могут быть представлены в виде периодической дроби, исходное утверждение неверно.

Ответ: Нет, не справедливо. В виде бесконечной периодической десятичной дроби можно представить только рациональные числа. Иррациональные числа, которые также являются действительными, представляются бесконечными непериодическими десятичными дробями.

4. Чем отличается степень с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем?

Основное отличие степени с иррациональным показателем от степени с рациональным показателем заключается в способе их определения и вычисления.

1. Степень с рациональным показателем ($a^r$, где $r = m/n$ — рациональное число) определяется алгебраически через операцию извлечения корня:$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.Для вычисления этого значения нужно возвести основание $a$ в целую степень $m$ и затем извлечь корень степени $n$. Это конечный набор алгебраических действий (при условии $a>0$).

2. Степень с иррациональным показателем ($a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число) не может быть определена через корень, так как иррациональное число нельзя представить в виде дроби $m/n$. Она определяется с помощью предельного перехода, то есть аналитически.

Для этого выбирают последовательность рациональных чисел $r_1, r_2, r_3, ...$, которая сходится к иррациональному числу $\alpha$ (то есть $\lim_{k \to \infty} r_k = \alpha$). Тогда степень $a^\alpha$ определяется как предел последовательности степеней с этими рациональными показателями:

$a^\alpha = \lim_{k \to \infty} a^{r_k}$

Например, чтобы определить $3^\sqrt{2}$, мы рассматриваем последовательность рациональных приближений для $\sqrt{2}$ (например, $1.4, 1.41, 1.414, ...$) и вычисляем предел последовательности $3^{1.4}, 3^{1.41}, 3^{1.414}, ...$. Этот предел и будет являться значением $3^\sqrt{2}$.

Таким образом, значение степени с иррациональным показателем — это результат бесконечного процесса (нахождения предела), а не конечной алгебраической операции.

Ответ: Степень с рациональным показателем определяется алгебраически через извлечение корня ($a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$). Степень с иррациональным показателем определяется аналитически через предел последовательности степеней с рациональными показателями.