Номер 10.4, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.4. Вычислите:

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{\frac{4}{5}} \cdot 2^3$;

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$;

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$;

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$.

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим произведение $16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4})} = 16^{\frac{3}{4} - \frac{3}{4}} = 16^0 = 1$.

Теперь выражение имеет вид: $4^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$.

Приведем все основания к степени 2, так как $4=2^2$ и $32=2^5$:

$4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$.

$32^{-\frac{4}{5}} = (2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$2^1 \cdot 2^{-4} \cdot 2^3$.

Сложим показатели степеней:

$2^{1 - 4 + 3} = 2^0 = 1$.

Ответ: 1

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

$81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$.

$\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Теперь перемножим все полученные значения:

$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27}$.

Сократим дроби:

$(3 \cdot \frac{2}{3}) \cdot (27 \cdot \frac{8}{27}) = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$64^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.

Получаем $64^{\frac{1}{6}}$.

Так как $64 = 2^6$, то:

$64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$729^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Получаем $729^{\frac{1}{6}}$.

Представим 729 как степень числа 3. Мы знаем, что $3^2=9$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$.

Следовательно:

$729^{\frac{1}{6}} = (3^6)^{\frac{1}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3