Номер 9.16, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.16. Постройте график уравнения:

1) $2y - 2 + x^2 = 0;$

2) $y^2 + x^2 = 4;$

3) $x^2 - 2x + y^2 = 0;$

4) $y - \sqrt{9 - x^2} = 0.$

1) Исходное уравнение: $2y - 2 + x^2 = 0$.

Выразим $y$ через $x$:

$2y = 2 - x^2$

$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$

Это уравнение является уравнением параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -\frac{1}{2}$, $b = 0$, $c = 1$. Так как коэффициент $a = -\frac{1}{2} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$

$y_0 = 1 - \frac{1}{2}(0)^2 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Ось симметрии - ось Oy.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Если $x = 2$, то $y = 1 - \frac{1}{2}(2)^2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(2, -1)$.

Если $x = -2$, то $y = 1 - \frac{1}{2}(-2)^2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-2, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вниз.

2) Исходное уравнение: $y^2 + x^2 = 4$.

Перепишем его в стандартном виде: $x^2 + y^2 = 2^2$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. В нашем случае центр окружности находится в начале координат, точке $(0, 0)$, а радиус $R = 2$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 2.

3) Исходное уравнение: $x^2 - 2x + y^2 = 0$.

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду уравнения окружности, выделим полный квадрат для переменной $x$. Для этого добавим и вычтем 1:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$

Свернем полный квадрат:

$(x - 1)^2 + y^2 - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть:

$(x - 1)^2 + y^2 = 1^2$

Это уравнение окружности с центром в точке $(a, b) = (1, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом 1.

4) Исходное уравнение: $y - \sqrt{9 - x^2} = 0$.

Выразим $y$:

$y = \sqrt{9 - x^2}$

Найдем область определения функции (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

$9 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 9$

$-3 \le x \le 3$

Также, поскольку $y$ равен значению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения $y = \sqrt{9 - x^2}$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$y^2 = 9 - x^2$

$x^2 + y^2 = 9$

$x^2 + y^2 = 3^2$

Мы получили уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Однако, изначальное условие $y \ge 0$ означает, что мы должны взять только ту часть окружности, которая лежит не ниже оси абсцисс (в верхней полуплоскости).

Ответ: Графиком уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом 3, расположенная в I и II координатных четвертях.