Номер 9.16, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.16. Постройте график уравнения:

1) $2y - 2 + x^2 = 0;$

2) $y^2 + x^2 = 4;$

3) $x^2 - 2x + y^2 = 0;$

4) $y - \sqrt{9 - x^2} = 0.$

1) Исходное уравнение: `$2y - 2 + x^2 = 0$`.

Выразим `$y$` через `$x$`:

`$2y = 2 - x^2$`

`$y = 1 - \frac{1}{2}x^2$`

Это уравнение является уравнением параболы вида `$y = ax^2 + bx + c$`, где `$a = -\frac{1}{2}$`, `$b = 0$`, `$c = 1$`. Так как коэффициент `$a = -\frac{1}{2} < 0$`, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы `$(x_0, y_0)$`:

`$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 0$`

`$y_0 = 1 - \frac{1}{2}(0)^2 = 1$`

Вершина параболы находится в точке `$(0, 1)$`. Ось симметрии - ось Oy.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Если `$x = 2$`, то `$y = 1 - \frac{1}{2}(2)^2 = 1 - 2 = -1$`. Точка `$(2, -1)$`.

Если `$x = -2$`, то `$y = 1 - \frac{1}{2}(-2)^2 = 1 - 2 = -1$`. Точка `$(-2, -1)$`.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке `(0, 1)`, ветви которой направлены вниз.

2) Исходное уравнение: `$y^2 + x^2 = 4$`.

Перепишем его в стандартном виде: `$x^2 + y^2 = 2^2$`.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке `$(a, b)` и радиусом `$R$`: `$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$`. В нашем случае центр окружности находится в начале координат, точке `$(0, 0)$`, а радиус `$R = 2$`.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке `(0, 0)` и радиусом 2.

3) Исходное уравнение: `$x^2 - 2x + y^2 = 0$`.

Чтобы привести это уравнение к каноническому виду уравнения окружности, выделим полный квадрат для переменной `$x$`. Для этого добавим и вычтем 1:

`$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$`

Свернем полный квадрат:

`$(x - 1)^2 + y^2 - 1 = 0$`

Перенесем 1 в правую часть:

`$(x - 1)^2 + y^2 = 1^2$`

Это уравнение окружности с центром в точке `$(a, b) = (1, 0)` и радиусом `$R = 1$`.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке `(1, 0)` и радиусом 1.

4) Исходное уравнение: `$y - \sqrt{9 - x^2} = 0$`.

Выразим `$y$`:

`$y = \sqrt{9 - x^2}$`

Найдем область определения функции (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.

`$9 - x^2 \ge 0$`

`$x^2 \le 9$`

`$-3 \le x \le 3$`

Также, поскольку `$y$` равен значению арифметического квадратного корня, `$y \ge 0$`. Возведем обе части уравнения `$y = \sqrt{9 - x^2}$` в квадрат, чтобы избавиться от корня:

`$y^2 = 9 - x^2$`

`$x^2 + y^2 = 9$`

`$x^2 + y^2 = 3^2$`

Мы получили уравнение окружности с центром в начале координат `$(0, 0)` и радиусом `$R = 3$`. Однако, изначальное условие `$y \ge 0$` означает, что мы должны взять только ту часть окружности, которая лежит не ниже оси абсцисс (в верхней полуплоскости).

Ответ: Графиком уравнения является верхняя полуокружность с центром в точке `(0, 0)` и радиусом 3, расположенная в I и II координатных четвертях.