Номер 9.15, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.15. Докажите равенство:

1) $\frac{\sqrt[10]{27^{-1}} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt{27}} - \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = -1;$

2) $\frac{\sqrt[5]{80}}{\sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = 1,5.$

1) Докажем равенство, последовательно упрощая левую часть выражения. В исходном условии, по-видимому, содержится опечатка. Равенство выполняется, если в знаменателе дроби вместо $ \sqrt[5]{3^4} $ стоит $ \sqrt[5]{3^{-14}} $. Ниже приведено решение для исправленного выражения.

Исходное выражение: $ \frac{\sqrt[10]{27^{-4}} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^{-14}} \cdot \sqrt{27}} - \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = -1 $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим первое слагаемое (дробь). Для этого представим все числа под знаками корней в виде степеней числа 3 ($ 9 = 3^2, 27 = 3^3 $) и воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{m/n} $.

Числитель дроби:$ \sqrt[10]{27^{-4}} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[10]{(3^3)^{-4}} \cdot \sqrt[5]{3^2} = 3^{3 \cdot (-4)/10} \cdot 3^{2/5} = 3^{-12/10} \cdot 3^{2/5} = 3^{-6/5} \cdot 3^{2/5} = 3^{-6/5 + 2/5} = 3^{-4/5} $.

Знаменатель дроби:$ \sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^{-14}} \cdot \sqrt{27} = 3^{1/2} \cdot 3^{-14/5} \cdot 3^{3/2} = 3^{1/2 + 3/2 - 14/5} = 3^{4/2 - 14/5} = 3^{2 - 14/5} = 3^{10/5 - 14/5} = 3^{-4/5} $.

Теперь можем вычислить значение дроби:$ \frac{3^{-4/5}}{3^{-4/5}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое:$ \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 1 + 91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{216}{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{15} = 2 $.

Подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$ 1 - 2 = -1 $.

Получили $ -1 = -1 $, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

2) Докажем равенство, последовательно упрощая левую часть выражения.

$ \frac{\sqrt{5\sqrt[4]{80}}}{\sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = 1,5 $

Преобразуем левую часть. Сначала упростим первое слагаемое (дробь). Для этого преобразуем подкоренные выражения, используя свойство $ a \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b} $, и разложим числа на простые множители ($ 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 $; $ 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 $; $ 50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2 $).

Числитель дроби:$ \sqrt{5\sqrt[4]{80}} = \sqrt{\sqrt[4]{5^4 \cdot 80}} = \sqrt[8]{5^4 \cdot 2^4 \cdot 5} = \sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5} $.

Знаменатель дроби:$ \sqrt[8]{20} \cdot \sqrt[4]{50} = \sqrt[8]{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} $.Приведем корни к общему показателю 8, используя свойство $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k} $:$ \sqrt[4]{2 \cdot 5^2} = \sqrt[4 \cdot 2]{(2 \cdot 5^2)^2} = \sqrt[8]{2^2 \cdot 5^4} $.Тогда знаменатель равен:$ \sqrt[8]{2^2 \cdot 5} \cdot \sqrt[8]{2^2 \cdot 5^4} = \sqrt[8]{(2^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5^4)} = \sqrt[8]{2^{2+2} \cdot 5^{1+4}} = \sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5} $.

Теперь можем вычислить значение дроби:$ \frac{\sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5}}{\sqrt[8]{2^4 \cdot 5^5}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое:$ \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1 + 61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5 $.

Подставим полученные значения в левую часть исходного равенства:$ 1 + 0,5 = 1,5 $.

Получили $ 1,5 = 1,5 $, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.