Номер 9.14, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.14. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt[6]{a^3 \sqrt[3]{a^{-1}}}}{\sqrt[9]{a^{-2}}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}};$

3) $\frac{\sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}}}{\sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}}};$

4) $\frac{\sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}}};

5) $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt[4]{\frac{x}{y}};$

6) $\sqrt[4]{x} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2 x);$

7) $\frac{\sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} : (a \cdot b^{-2})^{-2};$

8) $\frac{\sqrt[3]{a^2 \sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1} b^2)^{-3}}} \cdot \sqrt[12]{ab^{16}}.$

1) $ \frac{\sqrt[6]{a \sqrt[3]{a^{-1}}}}{\sqrt[9]{a^{-2}}} $

Преобразуем выражение, используя свойства степеней и корней $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $ и $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[nk]{x} $.

Сначала упростим числитель: $ \sqrt[6]{a \sqrt[3]{a^{-1}}} = \sqrt[6]{a \cdot a^{-1/3}} = \sqrt[6]{a^{1 - 1/3}} = \sqrt[6]{a^{2/3}} = (a^{2/3})^{1/6} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{2/18} = a^{1/9} $.

Теперь упростим знаменатель: $ \sqrt[9]{a^{-2}} = a^{-2/9} $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/9}}{a^{-2/9}} = a^{1/9 - (-2/9)} = a^{1/9 + 2/9} = a^{3/9} = a^{1/3} $.

Запишем результат в виде корня: $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{a} $

2) $ \frac{\sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{x^3 \cdot x^{1/3}} = \sqrt[4]{x^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{x^{10/3}} = (x^{10/3})^{1/4} = x^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{10/12} = x^{5/6} $.

Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $.

Выполним деление: $ \frac{x^{5/6}}{x^{1/3}} = x^{5/6 - 1/3} = x^{5/6 - 2/6} = x^{3/6} = x^{1/2} $.

Результат в виде корня: $ x^{1/2} = \sqrt{x} $.

Ответ: $ \sqrt{x} $

3) $ \frac{\sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}}}{\sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}} = \sqrt[4]{a^{-1} b^2 (ab)^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1} b^2 a^{1/2} b^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1+1/2} b^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1/2} b^{5/2}} = (a^{-1/2} b^{5/2})^{1/4} = a^{-1/8} b^{5/8} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}} = \sqrt[3]{a^2 b^{-2} (a^3 b)^{1/4}} = \sqrt[3]{a^2 b^{-2} a^{3/4} b^{1/4}} = \sqrt[3]{a^{2+3/4} b^{-2+1/4}} = \sqrt[3]{a^{11/4} b^{-7/4}} = (a^{11/4} b^{-7/4})^{1/3} = a^{11/12} b^{-7/12} $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{-1/8} b^{5/8}}{a^{11/12} b^{-7/12}} = a^{-1/8 - 11/12} b^{5/8 - (-7/12)} = a^{-3/24 - 22/24} b^{15/24 + 14/24} = a^{-25/24} b^{29/24} $.

Ответ: $ a^{-25/24} b^{29/24} $

4) $ \frac{\sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}} = \sqrt[5]{x^{-2} y (xy^{-1})^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2} y x^{1/2} y^{-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2+1/2} y^{1-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-3/2} y^{1/2}} = (x^{-3/2} y^{1/2})^{1/5} = x^{-3/10} y^{1/10} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}} = \sqrt[3]{xy^{-1} (x^2 y^{-1})^{1/5}} = \sqrt[3]{xy^{-1} x^{2/5} y^{-1/5}} = \sqrt[3]{x^{1+2/5} y^{-1-1/5}} = \sqrt[3]{x^{7/5} y^{-6/5}} = (x^{7/5} y^{-6/5})^{1/3} = x^{7/15} y^{-2/5} $.

Выполним деление: $ \frac{x^{-3/10} y^{1/10}}{x^{7/15} y^{-2/5}} = x^{-3/10 - 7/15} y^{1/10 - (-2/5)} = x^{-9/30 - 14/30} y^{1/10 + 4/10} = x^{-23/30} y^{5/10} = x^{-23/30} y^{1/2} $.

Ответ: $ x^{-23/30} y^{1/2} $

5) $ \sqrt{\frac{x}{y} \sqrt[3]{\frac{x}{y} \sqrt{\frac{x}{y}}}} $

Обозначим $ A = \frac{x}{y} $ и упростим выражение: $ \sqrt{A \sqrt[3]{A \sqrt{A}}} $.

Упрощаем изнутри: $ \sqrt{A \sqrt[3]{A \cdot A^{1/2}}} = \sqrt{A \sqrt[3]{A^{3/2}}} = \sqrt{A \cdot (A^{3/2})^{1/3}} = \sqrt{A \cdot A^{1/2}} = \sqrt{A^{3/2}} = (A^{3/2})^{1/2} = A^{3/4} $.

Подставим обратно $ A = \frac{x}{y} $: $ (\frac{x}{y})^{3/4} $.

Ответ: $ (\frac{x}{y})^{3/4} $

6) $ \sqrt[4]{\sqrt{x}} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2x) $

Перепишем выражение в виде дроби, используя степени: $ \frac{(x^{1/2})^{1/4} \cdot x^{-1} \cdot y}{y^2 x} $.

Упростим числитель: $ (x^{1/2})^{1/4} \cdot x^{-1} \cdot y = x^{1/8} \cdot x^{-1} \cdot y = x^{1/8 - 1} \cdot y = x^{-7/8} y $.

Теперь разделим на знаменатель: $ \frac{x^{-7/8} y}{y^2 x^1} = x^{-7/8 - 1} y^{1 - 2} = x^{-7/8 - 8/8} y^{-1} = x^{-15/8} y^{-1} $.

Ответ: $ x^{-15/8} y^{-1} $

7) $ \frac{\sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} : (a \cdot b^{-2})^{-2} $

Сначала упростим дробь. Числитель: $ \sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}} = \sqrt{b^2 (ab^2)^{1/4}} = \sqrt{b^2 a^{1/4} b^{1/2}} = \sqrt{a^{1/4} b^{2+1/2}} = \sqrt{a^{1/4} b^{5/2}} = a^{1/8} b^{5/4} $.

Знаменатель: $ \sqrt[4]{(ab^{-2})^3} = \sqrt[4]{a^3 b^{-6}} = a^{3/4} b^{-3/2} $.

Дробь равна: $ \frac{a^{1/8} b^{5/4}}{a^{3/4} b^{-3/2}} = a^{1/8-3/4} b^{5/4 - (-3/2)} = a^{1/8-6/8} b^{5/4+6/4} = a^{-5/8} b^{11/4} $.

Теперь упростим делитель: $ (a \cdot b^{-2})^{-2} = a^{-2} (b^{-2})^{-2} = a^{-2} b^4 $.

Выполним деление: $ \frac{a^{-5/8} b^{11/4}}{a^{-2} b^4} = a^{-5/8 - (-2)} b^{11/4 - 4} = a^{-5/8+16/8} b^{11/4-16/4} = a^{11/8} b^{-5/4} $.

Ответ: $ a^{11/8} b^{-5/4} $

8) $ \frac{\sqrt[3]{a^{-2}\sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}}} \cdot \sqrt[12]{ab^{16}} $

Упростим первый множитель (дробь).

Числитель: $ \sqrt[3]{a^{-2}\sqrt{b}} = \sqrt[3]{a^{-2} b^{1/2}} = (a^{-2} b^{1/2})^{1/3} = a^{-2/3} b^{1/6} $.

Знаменатель: $ \sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}} = \sqrt[4]{a^3 b^{-6}} = a^{3/4} b^{-3/2} $.

Дробь равна: $ \frac{a^{-2/3} b^{1/6}}{a^{3/4} b^{-3/2}} = a^{-2/3-3/4} b^{1/6-(-3/2)} = a^{-8/12-9/12} b^{1/6+9/6} = a^{-17/12} b^{10/6} = a^{-17/12} b^{5/3} $.

Упростим второй множитель: $ \sqrt[12]{ab^{16}} = (ab^{16})^{1/12} = a^{1/12} b^{16/12} = a^{1/12} b^{4/3} $.

Перемножим полученные выражения: $ (a^{-17/12} b^{5/3}) \cdot (a^{1/12} b^{4/3}) = a^{-17/12+1/12} b^{5/3+4/3} = a^{-16/12} b^{9/3} = a^{-4/3} b^3 $.

Ответ: $ a^{-4/3} b^3 $