Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9.10. Вычислите:

1) $\sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}};$

2) $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} - \sqrt{31 + 6\sqrt{26}};$

3) $(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7};$

4) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} \cdot \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}.$

1) Обозначим искомое выражение через $x$: $x = \sqrt{47 - 4\sqrt{33}} + \sqrt{47 + 4\sqrt{33}}$.

Так как оба слагаемых положительны, то $x > 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 = (\sqrt{47 - 4\sqrt{33}})^2 + 2\sqrt{47 - 4\sqrt{33}}\sqrt{47 + 4\sqrt{33}} + (\sqrt{47 + 4\sqrt{33}})^2$

$x^2 = (47 - 4\sqrt{33}) + 2\sqrt{(47 - 4\sqrt{33})(47 + 4\sqrt{33})} + (47 + 4\sqrt{33})$

Упростим выражение, сократив $-4\sqrt{33}$ и $4\sqrt{33}$. Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 = 47 + 47 + 2\sqrt{47^2 - (4\sqrt{33})^2}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 16 \cdot 33}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{2209 - 528}$

$x^2 = 94 + 2\sqrt{1681}$

Так как $41^2 = 1681$, то $\sqrt{1681} = 41$.

$x^2 = 94 + 2 \cdot 41$

$x^2 = 94 + 82$

$x^2 = 176$

Поскольку $x > 0$, извлекаем положительный корень: $x = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$.

Ответ: $4\sqrt{11}$.

2) Обозначим искомое выражение через $x$: $x = \sqrt{31 - 6\sqrt{26}} - \sqrt{31 + 6\sqrt{26}}$.

Так как $31 - 6\sqrt{26} < 31 + 6\sqrt{26}$, то $\sqrt{31 - 6\sqrt{26}} < \sqrt{31 + 6\sqrt{26}}$, следовательно, $x < 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 = (\sqrt{31 - 6\sqrt{26}})^2 - 2\sqrt{31 - 6\sqrt{26}}\sqrt{31 + 6\sqrt{26}} + (\sqrt{31 + 6\sqrt{26}})^2$

$x^2 = (31 - 6\sqrt{26}) - 2\sqrt{(31 - 6\sqrt{26})(31 + 6\sqrt{26})} + (31 + 6\sqrt{26})$

Упростим выражение, сократив $-6\sqrt{26}$ и $6\sqrt{26}$ и применив формулу разности квадратов:

$x^2 = 31 + 31 - 2\sqrt{31^2 - (6\sqrt{26})^2}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{961 - 36 \cdot 26}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{961 - 936}$

$x^2 = 62 - 2\sqrt{25}$

$x^2 = 62 - 2 \cdot 5$

$x^2 = 62 - 10$

$x^2 = 52$

Поскольку $x < 0$, извлекаем отрицательный корень: $x = -\sqrt{52} = -\sqrt{4 \cdot 13} = -2\sqrt{13}$.

Ответ: $-2\sqrt{13}$.

3) Для решения разделим каждый член в скобках на $\sqrt[3]{7}$:

$(\sqrt[3]{7} - \sqrt[3]{189} + \sqrt[3]{56}) : \sqrt[3]{7} = \frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}} - \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} + \frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}$

Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$= \sqrt[3]{\frac{7}{7}} - \sqrt[3]{\frac{189}{7}} + \sqrt[3]{\frac{56}{7}}$

Выполним деление под знаками корней:

$= \sqrt[3]{1} - \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8}$

Извлечем кубические корни:

$= 1 - 3 + 2 = 0$

Ответ: $0$.

4) Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$. Заметим, что подкоренное выражение можно представить в виде куба разности. Проверим гипотезу, что $5\sqrt{2} - 7 = (\sqrt{2}-1)^3$:

$(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2} - 7$.

Следовательно, $\sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = \sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3} = \sqrt{2}-1$.

Второй множитель: $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Заметим, что подкоренное выражение является полным квадратом:

$3 + 2\sqrt{2} = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{2})^2$.

Следовательно, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1+\sqrt{2}$.

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения, используя формулу разности квадратов:

$(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.

Ответ: $1$.

9.11. Упростите:

1) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}} \cdot \sqrt[3]{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt[4]{b\sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2\sqrt[4]{b}}$;

3) $\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b\sqrt[4]{\frac{a}{b}}}}$;

4) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2\sqrt[3]{a}}$.

1) Исходное выражение: $ \sqrt{a \sqrt[3]{a}} \cdot \sqrt[3]{a \sqrt{a}} $. Для упрощения представим корни в виде степеней с дробными показателями, используя свойства $ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $, $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt{a \sqrt[3]{a}} = \sqrt{a \cdot a^{1/3}} = \sqrt{a^{1 + 1/3}} = \sqrt{a^{4/3}} = (a^{4/3})^{1/2} = a^{(4/3) \cdot (1/2)} = a^{4/6} = a^{2/3} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[3]{a \sqrt{a}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}} = \sqrt[3]{a^{1 + 1/2}} = \sqrt[3]{a^{3/2}} = (a^{3/2})^{1/3} = a^{(3/2) \cdot (1/3)} = a^{3/6} = a^{1/2} $.

Теперь перемножим полученные выражения:

$ a^{2/3} \cdot a^{1/2} = a^{2/3 + 1/2} = a^{4/6 + 3/6} = a^{7/6} $.

Представим результат в виде корня:

$ a^{7/6} = a^{1 + 1/6} = a^1 \cdot a^{1/6} = a \sqrt[6]{a} $.

Ответ: $ a \sqrt[6]{a} $.

2) Исходное выражение: $ \sqrt[4]{b^3 \sqrt[3]{b^2}} \cdot \sqrt[3]{b^2 \sqrt[4]{b}} $. Используем представление корней в виде степеней.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt[4]{b^3 \sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[4]{b^3 \cdot b^{2/3}} = \sqrt[4]{b^{3 + 2/3}} = \sqrt[4]{b^{11/3}} = (b^{11/3})^{1/4} = b^{11/12} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[3]{b^2 \sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^2 \cdot b^{1/4}} = \sqrt[3]{b^{2 + 1/4}} = \sqrt[3]{b^{9/4}} = (b^{9/4})^{1/3} = b^{9/12} = b^{3/4} $.

Перемножим результаты:

$ b^{11/12} \cdot b^{3/4} = b^{11/12} \cdot b^{9/12} = b^{11/12 + 9/12} = b^{20/12} = b^{5/3} $.

Представим ответ в виде корня:

$ b^{5/3} = b^{1 + 2/3} = b \cdot b^{2/3} = b \sqrt[3]{b^2} $.

Ответ: $ b \sqrt[3]{b^2} $.

3) Исходное выражение: $ \sqrt[4]{\frac{a}{b} \sqrt{\frac{a}{b}}} \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \sqrt[4]{\frac{a}{b}}} $. Для удобства введем замену: $ x = \frac{a}{b} $. Выражение примет вид: $ \sqrt[4]{x \sqrt{x}} \cdot \sqrt{x \sqrt[4]{x}} $.

Упростим первый множитель, используя степени:

$ \sqrt[4]{x \sqrt{x}} = \sqrt[4]{x^1 \cdot x^{1/2}} = \sqrt[4]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/4} = x^{3/8} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt{x \sqrt[4]{x}} = \sqrt{x^1 \cdot x^{1/4}} = \sqrt{x^{5/4}} = (x^{5/4})^{1/2} = x^{5/8} $.

Перемножим полученные выражения:

$ x^{3/8} \cdot x^{5/8} = x^{3/8 + 5/8} = x^{8/8} = x^1 = x $.

Вернемся к исходным переменным, подставив $ x = \frac{a}{b} $.

Ответ: $ \frac{a}{b} $.

4) Исходное выражение: $ \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}} \cdot \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \sqrt{a}}} $. Будем упрощать каждый множитель по отдельности, двигаясь от внутреннего корня к внешнему и используя степени.

Упростим первый множитель:

$ \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}} = \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^2 \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[3]{a \sqrt[3]{a^{5/2}}} = \sqrt[3]{a \cdot (a^{5/2})^{1/3}} = \sqrt[3]{a \cdot a^{5/6}} = \sqrt[3]{a^{1+5/6}} = \sqrt[3]{a^{11/6}} = (a^{11/6})^{1/3} = a^{11/18} $.

Упростим второй множитель:

$ \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \sqrt{a}}} = \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a \cdot a^{1/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \sqrt[3]{a^{3/2}}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot (a^{3/2})^{1/3}} = \sqrt[4]{a^2 \cdot a^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{5/2}} = (a^{5/2})^{1/4} = a^{5/8} $.

Теперь перемножим результаты:

$ a^{11/18} \cdot a^{5/8} = a^{11/18 + 5/8} $.

Приведем дроби к общему знаменателю 72: $ \frac{11}{18} = \frac{44}{72} $ и $ \frac{5}{8} = \frac{45}{72} $.

$ a^{44/72 + 45/72} = a^{89/72} $.

Представим результат в виде корня:

$ a^{89/72} = a^{1 + 17/72} = a \cdot a^{17/72} = a \sqrt[72]{a^{17}} $.

Ответ: $ a \sqrt[72]{a^{17}} $.

9.12. Вычислите:

1) $ \sqrt{\frac{67^2 - 58^2}{\sqrt{53^2 - 28^2}}} $;

2) $ \sqrt{\frac{113^2 - 112^2}{19^2 - 11^2}} $;

3) $ \left(3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} - \sqrt{24} + \sqrt{6}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\right) $;

4) $ \left(\sqrt[3]{16} - 2\sqrt[3]{2} + 4\sqrt[3]{54}\right) \cdot \left(5\sqrt[3]{4} - 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\right) $.

1) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и для выражения под корнем в знаменателе.

Сначала преобразуем числитель:

$67^2 - 58^2 = (67 - 58)(67 + 58) = 9 \cdot 125$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$\sqrt{53^2 - 28^2} = \sqrt{(53 - 28)(53 + 28)} = \sqrt{25 \cdot 81} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 5 \cdot 9 = 45$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{9 \cdot 125}{45} = \frac{9 \cdot 125}{9 \cdot 5} = \frac{125}{5} = 25$.

Ответ: 25

2) В этом примере также применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем выражение под корнем в числителе:

$\sqrt{113^2 - 112^2} = \sqrt{(113 - 112)(113 + 112)} = \sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225} = 15$.

Преобразуем знаменатель:

$19^2 - 11^2 = (19 - 11)(19 + 11) = 8 \cdot 30 = 240$.

Получаем дробь:

$\frac{15}{240}$.

Сократим ее:

$\frac{15}{240} = \frac{15}{15 \cdot 16} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$

3) Для решения этого примера упростим выражения в скобках, приводя все корни к $\sqrt{6}$.

Упростим члены в первой скобке:

$3 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$.

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

Теперь подставим упрощенные значения в первую скобку:

$(\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6}) = (1 - 2 + 1)\sqrt{6} = 0 \cdot \sqrt{6} = 0$.

Так как первая скобка (один из множителей) равна нулю, то все произведение равно нулю, вне зависимости от значения второй скобки.

$(0) \cdot (2 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} + 3 \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}) = 0$.

Ответ: 0

4) Упростим выражения в каждой скобке, вынося множители из-под знака кубического корня.

Упростим первую скобку. Для этого приведем все корни к $\sqrt[3]{2}$:

$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.

$4\sqrt[3]{54} = 4\sqrt[3]{27 \cdot 2} = 4 \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 4 \cdot 3\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Выражение в первой скобке: $(2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2} + 12\sqrt[3]{2}) = (2 - 2 + 12)\sqrt[3]{2} = 12\sqrt[3]{2}$.

Теперь упростим вторую скобку. Приведем все корни к $\sqrt[3]{4}$:

$3\sqrt[3]{\frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$.

Выражение во второй скобке: $(5\sqrt[3]{4} - \frac{3\sqrt[3]{4}}{2}) = (5 - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = (\frac{10}{2} - \frac{3}{2})\sqrt[3]{4} = \frac{7}{2}\sqrt[3]{4}$.

Осталось перемножить результаты:

$(12\sqrt[3]{2}) \cdot (\frac{7}{2}\sqrt[3]{4}) = (12 \cdot \frac{7}{2}) \cdot (\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}) = (6 \cdot 7) \cdot \sqrt[3]{2 \cdot 4} = 42 \cdot \sqrt[3]{8} = 42 \cdot 2 = 84$.

Ответ: 84

9.13. Вычислите:

1) $ \sqrt[3]{16+8\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16-8\sqrt{5}} $

2) $ \sqrt[3]{26-15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26+15\sqrt{3}} $

3) $ \sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} : (\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200}) $

4) $ \sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} : (\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}}) $

5) $ \sqrt{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{3}} : \sqrt{\sqrt{3}})^2 $

6) $ \sqrt{5\sqrt{5}} : \sqrt{\sqrt[3]{5}\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}} $

7) $ \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}} $

8) $ \sqrt[5]{3\sqrt[3]{9\sqrt[5]{3\sqrt[3]{9...}}}} $

1)Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой куба суммы/разности $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.Попробуем представить подкоренное выражение $16 + 8\sqrt{5}$ в виде $(a + b\sqrt{5})^3$.$(a + b\sqrt{5})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{5}) + 3a(b\sqrt{5})^2 + (b\sqrt{5})^3 = (a^3 + 15ab^2) + (3a^2b + 5b^3)\sqrt{5}$.Приравняем коэффициенты:$\begin{cases} a^3 + 15ab^2 = 16 \\ 3a^2b + 5b^3 = 8 \end{cases}$Подбором находим целые решения. Пусть $a=1, b=1$.Проверяем первое уравнение: $1^3 + 15(1)(1)^2 = 1 + 15 = 16$. Верно.Проверяем второе уравнение: $3(1)^2(1) + 5(1)^3 = 3 + 5 = 8$. Верно.Таким образом, $16 + 8\sqrt{5} = (1 + \sqrt{5})^3$. Аналогично, $16 - 8\sqrt{5} = (1 - \sqrt{5})^3$.Подставляем в исходное выражение:$\sqrt[3]{(1 + \sqrt{5})^3} - \sqrt[3]{(1 - \sqrt{5})^3} = (1 + \sqrt{5}) - (1 - \sqrt{5}) = 1 + \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

2)Для вычисления $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$ также ищем вид $(a \pm b\sqrt{3})^3$.$(a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{3}) + 3a(b\sqrt{3})^2 + (b\sqrt{3})^3 = (a^3 + 9ab^2) + (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}$.Приравняем коэффициенты к $26 + 15\sqrt{3}$:$\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 26 \\ 3a^2b + 3b^3 = 15 \end{cases}$Из второго уравнения: $3b(a^2 + b^2) = 15$, то есть $b(a^2 + b^2) = 5$.Так как 5 - простое число, предположим, что $b=1$. Тогда $a^2 + 1^2 = 5$, откуда $a^2 = 4$ и $a=2$ (берем положительное значение).Проверим первое уравнение с $a=2, b=1$: $2^3 + 9(2)(1)^2 = 8 + 18 = 26$. Верно.Следовательно, $26 + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^3$ и $26 - 15\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^3$.Подставляем в выражение:$\sqrt[3]{(2 - \sqrt{3})^3} + \sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.

Ответ: 4.

3)Вычислим $\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} : (\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200})$.Преобразуем выражение по частям.Сначала вычислим произведение:$\sqrt[4]{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt[4]{5^3} \cdot \sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4]{5^3 \cdot 5^2} = \sqrt[4]{5^5} = 5\sqrt[4]{5}$.Теперь вычислим выражение в скобках:$\sqrt{5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt{\sqrt{5^2 \cdot 2}} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{50} \cdot \sqrt[4]{200} = \sqrt[4]{50 \cdot 200} = \sqrt[4]{10000} = \sqrt[4]{10^4} = 10$.Выполним деление:$(5\sqrt[4]{5}) : 10 = \frac{5\sqrt[4]{5}}{10} = \frac{\sqrt[4]{5}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{5}}{2}$.

4)Вычислим $\sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} : (\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}})$.Перейдем к степеням с рациональными показателями.Преобразуем делимое:$\sqrt{3\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{1125} = (3 \cdot 5^{1/2})^{1/2} \cdot (1125)^{1/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot (3^2 \cdot 5^3)^{1/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 3^{2/4} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2} \cdot 5^{1/4} \cdot 3^{1/2} \cdot 5^{3/4} = 3^{1/2+1/2} \cdot 5^{1/4+3/4} = 3^1 \cdot 5^1 = 15$.Преобразуем делитель в скобках:$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5\sqrt[3]{5}} = 5^{1/3} \cdot (5 \cdot 5^{1/3})^{1/2} = 5^{1/3} \cdot (5^{4/3})^{1/2} = 5^{1/3} \cdot 5^{4/6} = 5^{1/3} \cdot 5^{2/3} = 5^{1/3+2/3} = 5^1 = 5$.Выполним деление:$15 : 5 = 3$.

Ответ: 3.

5)Вычислим $\sqrt{\sqrt{3}} \cdot (\sqrt[3]{\sqrt{3}} : \sqrt{\sqrt[3]{3}})^2$.Преобразуем каждый член выражения, используя свойство $( \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a} )$:$\sqrt{\sqrt{3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.$\sqrt[3]{\sqrt{3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{3} = \sqrt[6]{3}$.$\sqrt{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[2 \cdot 3]{3} = \sqrt[6]{3}$.Подставим преобразованные значения в исходное выражение:$\sqrt[4]{3} \cdot (\sqrt[6]{3} : \sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[4]{3} \cdot (1)^2 = \sqrt[4]{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{3}$.

6)Вычислим $\sqrt{5\sqrt{5}} : \sqrt[3]{5\sqrt{5\sqrt{5}}}$.Перейдем к степеням с рациональными показателями.Числитель: $\sqrt{5\sqrt{5}} = (5 \cdot 5^{1/2})^{1/2} = (5^{3/2})^{1/2} = 5^{3/4}$.Знаменатель: $\sqrt[3]{5\sqrt{5\sqrt{5}}} = (5 \cdot (5 \cdot 5^{1/2})^{1/2})^{1/3} = (5 \cdot (5^{3/2})^{1/2})^{1/3} = (5 \cdot 5^{3/4})^{1/3} = (5^{7/4})^{1/3} = 5^{7/12}$.Выполним деление:$5^{3/4} : 5^{7/12} = 5^{3/4 - 7/12} = 5^{9/12 - 7/12} = 5^{2/12} = 5^{1/6} = \sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{5}$.

7)Вычислим значение бесконечного радикала $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Обозначим все выражение через $x$:$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4\sqrt[3]{2\sqrt[3]{4...}}}}$.Заметим, что структура радикала периодически повторяется. Мы можем записать:$x = \sqrt[3]{2\sqrt[3]{4x}}$.Возведем обе части уравнения в куб:$x^3 = 2\sqrt[3]{4x}$.Возведем обе части еще раз в куб:$(x^3)^3 = (2\sqrt[3]{4x})^3 \implies x^9 = 2^3 \cdot 4x \implies x^9 = 8 \cdot 4x \implies x^9 = 32x$.$x^9 - 32x = 0 \implies x(x^8 - 32) = 0$.Так как $x$ очевидно является положительным числом ($x > 0$), то $x^8 = 32$.$x = \sqrt[8]{32} = \sqrt[8]{2^5} = 2^{5/8}$.

Ответ: $2^{5/8}$.

8)Вычислим значение бесконечного радикала $\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Обозначим все выражение через $x$:$x = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9\sqrt[5]{3\sqrt[5]{9...}}}}$.Здесь также наблюдается периодичность. Выражение можно записать как:$x = \sqrt[5]{3\sqrt[5]{9x}}$.Возведем обе части уравнения в 5-ю степень:$x^5 = 3\sqrt[5]{9x}$.Возведем обе части еще раз в 5-ю степень:$(x^5)^5 = (3\sqrt[5]{9x})^5 \implies x^{25} = 3^5 \cdot 9x \implies x^{25} = 3^5 \cdot 3^2 \cdot x \implies x^{25} = 3^7x$.$x^{25} - 3^7x = 0 \implies x(x^{24} - 3^7) = 0$.Поскольку $x > 0$, имеем $x^{24} = 3^7$.Отсюда $x = (3^7)^{1/24} = 3^{7/24}$.

Ответ: $3^{7/24}$.

9.14. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt[6]{a^3 \sqrt[3]{a^{-1}}}}{\sqrt[9]{a^{-2}}};$

2) $\frac{\sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}};$

3) $\frac{\sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}}}{\sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}}};$

4) $\frac{\sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}}};

5) $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt[4]{\frac{x}{y}};$

6) $\sqrt[4]{x} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2 x);$

7) $\frac{\sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} : (a \cdot b^{-2})^{-2};$

8) $\frac{\sqrt[3]{a^2 \sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1} b^2)^{-3}}} \cdot \sqrt[12]{ab^{16}}.$

1) $ \frac{\sqrt[6]{a \sqrt[3]{a^{-1}}}}{\sqrt[9]{a^{-2}}} $

Преобразуем выражение, используя свойства степеней и корней $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $ и $ \sqrt[n]{\sqrt[k]{x}} = \sqrt[nk]{x} $.

Сначала упростим числитель: $ \sqrt[6]{a \sqrt[3]{a^{-1}}} = \sqrt[6]{a \cdot a^{-1/3}} = \sqrt[6]{a^{1 - 1/3}} = \sqrt[6]{a^{2/3}} = (a^{2/3})^{1/6} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{2/18} = a^{1/9} $.

Теперь упростим знаменатель: $ \sqrt[9]{a^{-2}} = a^{-2/9} $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/9}}{a^{-2/9}} = a^{1/9 - (-2/9)} = a^{1/9 + 2/9} = a^{3/9} = a^{1/3} $.

Запишем результат в виде корня: $ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{a} $

2) $ \frac{\sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[4]{x^3 \sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{x^3 \cdot x^{1/3}} = \sqrt[4]{x^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{x^{10/3}} = (x^{10/3})^{1/4} = x^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{10/12} = x^{5/6} $.

Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $.

Выполним деление: $ \frac{x^{5/6}}{x^{1/3}} = x^{5/6 - 1/3} = x^{5/6 - 2/6} = x^{3/6} = x^{1/2} $.

Результат в виде корня: $ x^{1/2} = \sqrt{x} $.

Ответ: $ \sqrt{x} $

3) $ \frac{\sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}}}{\sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[4]{a^{-1} b^2 \sqrt{ab}} = \sqrt[4]{a^{-1} b^2 (ab)^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1} b^2 a^{1/2} b^{1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1+1/2} b^{2+1/2}} = \sqrt[4]{a^{-1/2} b^{5/2}} = (a^{-1/2} b^{5/2})^{1/4} = a^{-1/8} b^{5/8} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{a^2 b^{-2} \sqrt[4]{a^3 b}} = \sqrt[3]{a^2 b^{-2} (a^3 b)^{1/4}} = \sqrt[3]{a^2 b^{-2} a^{3/4} b^{1/4}} = \sqrt[3]{a^{2+3/4} b^{-2+1/4}} = \sqrt[3]{a^{11/4} b^{-7/4}} = (a^{11/4} b^{-7/4})^{1/3} = a^{11/12} b^{-7/12} $.

Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{-1/8} b^{5/8}}{a^{11/12} b^{-7/12}} = a^{-1/8 - 11/12} b^{5/8 - (-7/12)} = a^{-3/24 - 22/24} b^{15/24 + 14/24} = a^{-25/24} b^{29/24} $.

Ответ: $ a^{-25/24} b^{29/24} $

4) $ \frac{\sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}}}{\sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}}} $

Упростим числитель: $ \sqrt[5]{x^{-2} y \sqrt{xy^{-1}}} = \sqrt[5]{x^{-2} y (xy^{-1})^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2} y x^{1/2} y^{-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2+1/2} y^{1-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-3/2} y^{1/2}} = (x^{-3/2} y^{1/2})^{1/5} = x^{-3/10} y^{1/10} $.

Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{xy^{-1} \sqrt[5]{x^2 y^{-1}}} = \sqrt[3]{xy^{-1} (x^2 y^{-1})^{1/5}} = \sqrt[3]{xy^{-1} x^{2/5} y^{-1/5}} = \sqrt[3]{x^{1+2/5} y^{-1-1/5}} = \sqrt[3]{x^{7/5} y^{-6/5}} = (x^{7/5} y^{-6/5})^{1/3} = x^{7/15} y^{-2/5} $.

Выполним деление: $ \frac{x^{-3/10} y^{1/10}}{x^{7/15} y^{-2/5}} = x^{-3/10 - 7/15} y^{1/10 - (-2/5)} = x^{-9/30 - 14/30} y^{1/10 + 4/10} = x^{-23/30} y^{5/10} = x^{-23/30} y^{1/2} $.

Ответ: $ x^{-23/30} y^{1/2} $

5) $ \sqrt{\frac{x}{y} \sqrt[3]{\frac{x}{y} \sqrt{\frac{x}{y}}}} $

Обозначим $ A = \frac{x}{y} $ и упростим выражение: $ \sqrt{A \sqrt[3]{A \sqrt{A}}} $.

Упрощаем изнутри: $ \sqrt{A \sqrt[3]{A \cdot A^{1/2}}} = \sqrt{A \sqrt[3]{A^{3/2}}} = \sqrt{A \cdot (A^{3/2})^{1/3}} = \sqrt{A \cdot A^{1/2}} = \sqrt{A^{3/2}} = (A^{3/2})^{1/2} = A^{3/4} $.

Подставим обратно $ A = \frac{x}{y} $: $ (\frac{x}{y})^{3/4} $.

Ответ: $ (\frac{x}{y})^{3/4} $

6) $ \sqrt[4]{\sqrt{x}} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2x) $

Перепишем выражение в виде дроби, используя степени: $ \frac{(x^{1/2})^{1/4} \cdot x^{-1} \cdot y}{y^2 x} $.

Упростим числитель: $ (x^{1/2})^{1/4} \cdot x^{-1} \cdot y = x^{1/8} \cdot x^{-1} \cdot y = x^{1/8 - 1} \cdot y = x^{-7/8} y $.

Теперь разделим на знаменатель: $ \frac{x^{-7/8} y}{y^2 x^1} = x^{-7/8 - 1} y^{1 - 2} = x^{-7/8 - 8/8} y^{-1} = x^{-15/8} y^{-1} $.

Ответ: $ x^{-15/8} y^{-1} $

7) $ \frac{\sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} : (a \cdot b^{-2})^{-2} $

Сначала упростим дробь. Числитель: $ \sqrt{b^2 \sqrt[4]{ab^2}} = \sqrt{b^2 (ab^2)^{1/4}} = \sqrt{b^2 a^{1/4} b^{1/2}} = \sqrt{a^{1/4} b^{2+1/2}} = \sqrt{a^{1/4} b^{5/2}} = a^{1/8} b^{5/4} $.

Знаменатель: $ \sqrt[4]{(ab^{-2})^3} = \sqrt[4]{a^3 b^{-6}} = a^{3/4} b^{-3/2} $.

Дробь равна: $ \frac{a^{1/8} b^{5/4}}{a^{3/4} b^{-3/2}} = a^{1/8-3/4} b^{5/4 - (-3/2)} = a^{1/8-6/8} b^{5/4+6/4} = a^{-5/8} b^{11/4} $.

Теперь упростим делитель: $ (a \cdot b^{-2})^{-2} = a^{-2} (b^{-2})^{-2} = a^{-2} b^4 $.

Выполним деление: $ \frac{a^{-5/8} b^{11/4}}{a^{-2} b^4} = a^{-5/8 - (-2)} b^{11/4 - 4} = a^{-5/8+16/8} b^{11/4-16/4} = a^{11/8} b^{-5/4} $.

Ответ: $ a^{11/8} b^{-5/4} $

8) $ \frac{\sqrt[3]{a^{-2}\sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}}} \cdot \sqrt[12]{ab^{16}} $

Упростим первый множитель (дробь).

Числитель: $ \sqrt[3]{a^{-2}\sqrt{b}} = \sqrt[3]{a^{-2} b^{1/2}} = (a^{-2} b^{1/2})^{1/3} = a^{-2/3} b^{1/6} $.

Знаменатель: $ \sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}} = \sqrt[4]{a^3 b^{-6}} = a^{3/4} b^{-3/2} $.

Дробь равна: $ \frac{a^{-2/3} b^{1/6}}{a^{3/4} b^{-3/2}} = a^{-2/3-3/4} b^{1/6-(-3/2)} = a^{-8/12-9/12} b^{1/6+9/6} = a^{-17/12} b^{10/6} = a^{-17/12} b^{5/3} $.

Упростим второй множитель: $ \sqrt[12]{ab^{16}} = (ab^{16})^{1/12} = a^{1/12} b^{16/12} = a^{1/12} b^{4/3} $.

Перемножим полученные выражения: $ (a^{-17/12} b^{5/3}) \cdot (a^{1/12} b^{4/3}) = a^{-17/12+1/12} b^{5/3+4/3} = a^{-16/12} b^{9/3} = a^{-4/3} b^3 $.

Ответ: $ a^{-4/3} b^3 $