Страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.4. Вычислите:

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{\frac{4}{5}} \cdot 2^3$;

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$;

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$;

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$.

1) $4^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим произведение $16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$16^{\frac{3}{4}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4} + (-\frac{3}{4})} = 16^{\frac{3}{4} - \frac{3}{4}} = 16^0 = 1$.

Теперь выражение имеет вид: $4^{\frac{1}{2}} \cdot 1 \cdot 32^{-\frac{4}{5}} \cdot 2^3$.

Приведем все основания к степени 2, так как $4=2^2$ и $32=2^5$:

$4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2$.

$32^{-\frac{4}{5}} = (2^5)^{-\frac{4}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$2^1 \cdot 2^{-4} \cdot 2^3$.

Сложим показатели степеней:

$2^{1 - 4 + 3} = 2^0 = 1$.

Ответ: 1

2) $27^{\frac{1}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

$81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27$.

$\left(\frac{27}{8}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$.

Теперь перемножим все полученные значения:

$3 \cdot 27 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{27}$.

Сократим дроби:

$(3 \cdot \frac{2}{3}) \cdot (27 \cdot \frac{8}{27}) = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

3) $64^{\frac{2}{3}} : 64^{\frac{1}{2}}$

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$64^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6:

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.

Получаем $64^{\frac{1}{6}}$.

Так как $64 = 2^6$, то:

$64^{\frac{1}{6}} = (2^6)^{\frac{1}{6}} = 2^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2

4) $729^{\frac{1}{2}} : 729^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$729^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.

Получаем $729^{\frac{1}{6}}$.

Представим 729 как степень числа 3. Мы знаем, что $3^2=9$, $3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$.

Следовательно:

$729^{\frac{1}{6}} = (3^6)^{\frac{1}{6}} = 3^{6 \cdot \frac{1}{6}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

10.5. Упростите:

1) $a^{1\over 4} : a^{3\over 8}$;

2) $(x+y)^{4\over 5} : (x+y)^{2\over 5}$;

3) $a^{2\over 3} \cdot x^{3\over 5} \cdot a^{3\over 4} \cdot x^{2\over 3}$;

4) $b^{7\over 12} \cdot y^{5\over 6} \cdot b^{2\over 3} \cdot y^{3\over 4}$.

1) Для упрощения выражения $a^{1\frac{3}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются ($x^m : x^n = x^{m-n}$).

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $a^{\frac{7}{4}} : a^{\frac{2}{3}}$.

Вычтем показатели степеней, предварительно приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{4} - \frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3}{12} - \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{21 - 8}{12} = \frac{13}{12}$.

Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{13}{12}}$.

Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

2) Для упрощения выражения $(x+y)^{\frac{4}{5}} : (x+y)^{\frac{2}{5}}$ используем то же свойство степеней: $b^m : b^n = b^{m-n}$, где в качестве основания $b$ выступает выражение $(x+y)$.

Вычитаем показатели степеней:

$\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, результат упрощения — $(x+y)^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $(x+y)^{\frac{2}{5}}$

3) Чтобы упростить выражение $a^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{5}} \cdot a^{\frac{3}{4}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством умножения степеней: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Группируем множители: $(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}) \cdot (x^{\frac{3}{5}} \cdot x^{\frac{2}{3}})$.

Для основания $a$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8+9}{12} = \frac{17}{12}$.

Для основания $x$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 15:

$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}$.

Объединяем полученные результаты: $a^{\frac{17}{12}}x^{\frac{19}{15}}$.

Ответ: $a^{\frac{17}{12}}x^{\frac{19}{15}}$

4) Упростим выражение $b^{\frac{7}{12}} \cdot y^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{3}{4}}$, действуя аналогично предыдущему пункту.

Группируем множители с одинаковыми основаниями: $(b^{\frac{7}{12}} \cdot b^{\frac{2}{3}}) \cdot (y^{\frac{5}{6}} \cdot y^{\frac{3}{4}})$.

Для основания $b$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{12} + \frac{2}{3} = \frac{7}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{7+8}{12} = \frac{15}{12}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.

Для основания $y$ складываем показатели, приводя к общему знаменателю 12:

$\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{5 \cdot 2}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{10+9}{12} = \frac{19}{12}$.

Итоговое выражение: $b^{\frac{5}{4}}y^{\frac{19}{12}}$.

Ответ: $b^{\frac{5}{4}}y^{\frac{19}{12}}$

10.6. Найдите значение выражения:

1) $4^{1.5} - 9^{0.5} + \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{2}{3}}$;

2) $8^{\frac{2}{3}} - \left(\frac{1}{16}\right)^{-0.75} + \left(\frac{1}{4}\right)^{1.5}$;

3) $\left(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}\right) \cdot \left(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}}\right)^0$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^{-3} \cdot \left(6\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}$.

1) Для решения выражения $4^{1.5} - 9^{0.5} + (\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$ вычислим значение каждого члена по отдельности, используя свойства степеней.

Первый член: $4^{1.5} = 4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

Второй член: $9^{0.5} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Третий член: $(\frac{1}{64})^{-\frac{2}{3}}$. Отрицательная степень означает, что мы переворачиваем дробь: $(64)^{\frac{2}{3}}$. Дробная степень $\frac{2}{3}$ означает, что мы сначала извлекаем кубический корень, а затем возводим в квадрат: $(\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение: $8 - 3 + 16 = 5 + 16 = 21$.

Ответ: 21.

2) Для решения выражения $8^{\frac{2}{3}} - (\frac{1}{16})^{-0.75} + (\frac{1}{4})^{1.5}$ вычислим значение каждого члена по отдельности.

Первый член: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Второй член: $(\frac{1}{16})^{-0.75} = (\frac{1}{16})^{-\frac{3}{4}}$. Переворачиваем дробь из-за отрицательной степени: $(16)^{\frac{3}{4}}$. Извлекаем корень четвертой степени и возводим в куб: $(\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$.

Третий член: $(\frac{1}{4})^{1.5} = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}$. Извлекаем квадратный корень и возводим в куб: $(\sqrt{\frac{1}{4}})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим значения в выражение: $4 - 8 + \frac{1}{8} = -4 + \frac{1}{8} = -\frac{32}{8} + \frac{1}{8} = -\frac{31}{8}$.

Ответ: $-\frac{31}{8}$.

3) Для решения выражения $(125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$ сначала упростим каждый множитель.

Рассмотрим второй множитель: $(16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}})^0$. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Проверим, не равно ли основание нулю: $16^{\frac{1}{4}} + 216^{\frac{1}{3}} = \sqrt[4]{16} + \sqrt[3]{216} = 2 + 6 = 8$. Так как $8 \neq 0$, то $(8)^0 = 1$.

Теперь вычислим значение выражения в первых скобках: $125^{-\frac{1}{3}} - 36^{\frac{1}{2}}$.

$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$.

$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

Значение в первых скобках: $\frac{1}{5} - 6 = \frac{1}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{29}{5}$.

Теперь перемножим результаты: $(-\frac{29}{5}) \cdot 1 = -\frac{29}{5}$.

Ответ: $-\frac{29}{5}$.

4) Для решения выражения $(\frac{2}{5})^{-3} \cdot (6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$ упростим каждый множитель.

Первый множитель: $(\frac{2}{5})^{-3} = (\frac{5}{2})^3 = \frac{5^3}{2^3} = \frac{125}{8}$.

Второй множитель: $(6\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$.

Теперь возведем в степень: $(\frac{25}{4})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{4}{25})^{\frac{3}{2}}$. Это равносильно извлечению квадратного корня и возведению в куб: $(\sqrt{\frac{4}{25}})^3 = (\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

Теперь перемножим полученные значения: $\frac{125}{8} \cdot \frac{8}{125} = 1$.

Ответ: 1.

10.7. Упростите:

1) $ \left( a^4 \right)^{\frac{3}{6}} $; 2) $ \left( a^6 \right)^{\frac{3}{10}} $; 3) $ \left( (a+x)^{\frac{2}{5}} \right)^{\frac{1}{4}} $; 4) $ \left( \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^{\frac{2}{3}} \right)^3 $.

1) Для упрощения выражения $(a^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{6}}$ используется свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, необходимо перемножить показатели степеней.

$(a^{\frac{3}{4}})^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}} = a^{\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6}} = a^{\frac{15}{24}}$.

Далее сократим дробь в показателе степени:

$\frac{15}{24} = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 8} = \frac{5}{8}$.

Таким образом, итоговое выражение: $a^{\frac{5}{8}}$.

Ответ: $a^{\frac{5}{8}}$

2) Для упрощения выражения $(a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}$ применяется то же свойство степени: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}} = a^{\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 10}} = a^{\frac{15}{60}}$.

Теперь сократим полученную дробь в показателе:

$\frac{15}{60} = \frac{15}{4 \cdot 15} = \frac{1}{4}$.

В результате упрощения получаем: $a^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{4}}$

3) Упростим выражение $((a+x)^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}}$. В данном случае основанием степени является выражение $(a+x)$.

Используем свойство $(B^m)^n = B^{m \cdot n}$, где $B = a+x$.

Перемножим показатели:

$((a+x)^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{4}} = (a+x)^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}} = (a+x)^{\frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 4}} = (a+x)^{\frac{2}{12}}$.

Сократим дробь в показателе:

$\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Итоговое выражение: $(a+x)^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $(a+x)^{\frac{1}{6}}$

4) Рассмотрим выражение $((\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$. Основанием степени здесь является дробь $\frac{a-b}{a+b}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(B^m)^n = B^{m \cdot n}$, где $B = \frac{a-b}{a+b}$.

Умножим показатели степеней друг на друга:

$((\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4}} = (\frac{a-b}{a+b})^{\frac{6}{12}}$.

Сократим полученную в показателе дробь:

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $(\frac{a-b}{a+b})^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(\frac{a-b}{a+b})^{\frac{1}{2}}$

10.8. Вычислите:

1) ${ \left(49^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{4}} };$

2) ${ \left(625^{-\frac{3}{8}}\right)^{\frac{2}{3}} };$

3) ${ \left(64^{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{2}{3}} };$

4) ${ \left(\left(\frac{4}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{4}} };$

5) ${ \left(\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{5}{2}}\right)^{\frac{2}{15}} };$

6) ${ \left(\left(3\frac{6}{25}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{4}} }.$

1) Чтобы вычислить выражение $(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$, воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применяя это свойство, мы перемножаем показатели степеней:

$(49^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = 49^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = 49^{\frac{6}{12}} = 49^{\frac{1}{2}}$.

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.

$49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7.

2) Для выражения $(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}}$ применяем то же свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(625^{-\frac{3}{8}})^{\frac{2}{3}} = 625^{-\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{3}} = 625^{-\frac{6}{24}} = 625^{-\frac{1}{4}}$.

Отрицательная степень $a^{-n}$ равна $\frac{1}{a^n}$, а степень $\frac{1}{4}$ означает корень четвертой степени.

$625^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{625^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{625}}$.

Поскольку $625 = 5^4$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.

Таким образом, результат равен $\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

3) Вычислим $(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}}$:

Перемножим показатели: $(64^{\frac{1}{4}})^{-\frac{2}{3}} = 64^{\frac{1}{4} \cdot (-\frac{2}{3})} = 64^{-\frac{2}{12}} = 64^{-\frac{1}{6}}$.

Преобразуем отрицательную степень и дробную степень:

$64^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{64}}$.

Так как $64 = 2^6$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.

Следовательно, результат равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Вычислим $((\frac{4}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$:

Перемножаем показатели степеней:

$((\frac{4}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{4}{25})^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})} = (\frac{4}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}}$.

Возводим дробь в степень $\frac{1}{2}$, что равносильно извлечению квадратного корня:

$(\frac{4}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

5) Вычислим $((3\frac{3}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.

Теперь выражение выглядит так: $((\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2}})^{\frac{2}{15}}$.

Перемножим показатели: $(\frac{27}{8})^{-\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{15}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{10}{30}} = (\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}}$.

Отрицательная степень $(\frac{a}{b})^{-n}$ переворачивает дробь: $(\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{27}{8})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{8}{27})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

6) Вычислим $((3\frac{6}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{75 + 6}{25} = \frac{81}{25}$.

Выражение принимает вид $((\frac{81}{25})^{-\frac{2}{3}})^{-\frac{3}{4}}$.

Перемножаем показатели: $(\frac{81}{25})^{(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{4})} = (\frac{81}{25})^{\frac{6}{12}} = (\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}}$.

Возводим в степень $\frac{1}{2}$:

$(\frac{81}{25})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}$.

Ответ: $\frac{9}{5}$.

10.9. Сравните:

1) $12^{\frac{8}{9}}$ и $12^{\frac{3}{2}};$

2) $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}};$

3) $\left(\frac{1}{18}\right)^{\frac{5}{4}}$ и $\left(\frac{1}{18}\right)^{\frac{6}{5}};$

4) $\left(\frac{1}{5}\right)^{1.5}$ и $\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{5}{3}}.$

1) Для сравнения чисел $12^{\frac{3}{4}}$ и $12^{\frac{2}{3}}$ необходимо сравнить их показатели степени, так как основания у них одинаковы. Основание степени $a = 12$ больше единицы ($12 > 1$). Степенная функция $y=a^x$ при $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени. Сравним показатели $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ и $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$. Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{12} > \frac{8}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$. Поскольку функция возрастающая, то из $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ следует, что $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $12^{\frac{3}{4}} > 12^{\frac{2}{3}}$.

2) Сравниваем числа $8^{\frac{3}{2}}$ и $8^{\frac{4}{3}}$. Основание степени $a = 8$ больше единицы ($8 > 1$), следовательно, степенная функция $y=8^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней $\frac{3}{2}$ и $\frac{4}{3}$. Общий знаменатель для этих дробей равен 6. Получаем: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$ и $\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{8}{6}$. Так как $9 > 8$, то $\frac{9}{6} > \frac{8}{6}$, а значит $\frac{3}{2} > \frac{4}{3}$. В силу того, что функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени, поэтому $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

Ответ: $8^{\frac{3}{2}} > 8^{\frac{4}{3}}$.

3) Сравниваем числа $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}}$ и $(\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$. Основание степени $a = \frac{1}{18}$ находится в интервале $0 < a < 1$. Степенная функция $y=a^x$ при $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение самой степени (знак неравенства меняется на противоположный). Сравним показатели $\frac{5}{4}$ и $\frac{6}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 20: $\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{25}{20}$ и $\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{24}{20}$. Так как $25 > 24$, то $\frac{25}{20} > \frac{24}{20}$, следовательно, $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$. Поскольку функция убывающая, из $\frac{5}{4} > \frac{6}{5}$ следует, что $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

Ответ: $(\frac{1}{18})^{\frac{5}{4}} < (\frac{1}{18})^{\frac{6}{5}}$.

4) Сравниваем числа $(\frac{1}{5})^{1.5}$ и $(\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$. Основание степени $a = \frac{1}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, поэтому степенная функция $y=(\frac{1}{5})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней $1.5$ и $\frac{5}{3}$. Для этого представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной: $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$. Теперь сравним дроби $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{3}$. Их общий знаменатель равен 6: $\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$ и $\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$. Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{6} < \frac{10}{6}$, а значит $1.5 < \frac{5}{3}$. Так как функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $(\frac{1}{5})^{1.5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.

Ответ: $(\frac{1}{5})^{1.5} > (\frac{1}{5})^{\frac{5}{3}}$.