Страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.18. Какое значение принимает выражение:

1) $\left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-2} + a^{\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}$ при $x = \left(1 - a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$;

2) $\left(\frac{\left(x^2 + 1\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(x^2 - 1\right)^{-\frac{1}{2}}}{\left(x^2 + 1\right)^{-\frac{1}{2}} - \left(x^2 - 1\right)^{-\frac{1}{2}}}\right)^{-2}$ при $x = \left(\frac{m^2 + n^2}{2mn}\right)^{\frac{1}{2}}$, если

a) $n > m > 0$;

б) $m > n > 0$;

в) $m = n = 1$.

1)

Для начала упростим выражение в скобках. Обозначим всё выражение как $E$.

$E = \left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(a^{-2} + a^{-\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Рассмотрим первое слагаемое:

$\left(x^{-2} + a^{-\frac{2}{3}}x^{-\frac{4}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{a^{2/3}x^{4/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^{2/3} + x^{2/3}}{a^{2/3}x^2}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^{2/3}x^2}{a^{2/3} + x^{2/3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Рассмотрим второе слагаемое:

$\left(a^{-2} + a^{-\frac{4}{3}}x^{-\frac{2}{3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a^{4/3}x^{2/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{x^{2/3} + a^{2/3}}{a^2x^{2/3}}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{a^2x^{2/3}}{a^{2/3} + x^{2/3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Теперь используем заданное условие $x = \left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}$.

Из условия следует, что $1-a^{\frac{2}{3}} \ge 0$, то есть $a^{\frac{2}{3}} \le 1$. Также $x \ge 0$.

Возведем обе части условия в степень $\frac{2}{3}$:

$x^{\frac{2}{3}} = \left(\left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1-a^{\frac{2}{3}}$

Отсюда получаем важное соотношение: $x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} = 1$.

Подставим это в упрощенные слагаемые. Для существования выражения $a \neq 0$. Будем считать, что $a \in (0, 1]$, тогда $|a| = a$.

Первое слагаемое: $\left(\frac{a^{2/3}x^2}{1}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^{2/3}x^2} = |x|a^{1/3}$. Так как $x \ge 0$, это равно $xa^{1/3}$.

Второе слагаемое: $\left(\frac{a^2x^{2/3}}{1}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a^2x^{2/3}} = |a|x^{1/3}$. Так как $a > 0$, это равно $ax^{1/3}$.

Теперь сложим оба слагаемых:

$E = xa^{1/3} + ax^{1/3}$

Вынесем общий множитель $a^{1/3}x^{1/3}$:

$E = a^{1/3}x^{1/3}\left(x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}\right)$

Так как $x^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} = 1$, выражение принимает вид:

$E = a^{1/3}x^{1/3} \cdot 1 = (ax)^{1/3}$

Это значение зависит от $a$ и $x$. Выразим его только через $a$:

$E = \left(a \cdot \left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}\left(1-a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$

Заметим, что в условии задачи, вероятно, допущена опечатка, так как обычно в подобных заданиях ответ является константой. Приведенное решение соответствует тексту задачи из изображения.

Ответ: $(ax)^{1/3}$ или $a^{1/3}(1-a^{2/3})^{1/2}$.

2)

Обозначим данное выражение как $E$:

$E = \left[ \frac{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} + (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}}{(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} - (x^2-1)^{-\frac{1}{2}}} \right]^{-2}$

Преобразуем дробь внутри скобок, используя $a^{-n} = 1/a^n$:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}}}{\frac{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2-1}}} = \frac{\sqrt{x^2-1} + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}$

Используем заданное условие $x = \left( \frac{m^2+n^2}{2mn} \right)^{\frac{1}{2}}$.

Возведем в квадрат: $x^2 = \frac{m^2+n^2}{2mn}$. Для корректности выражения $x^2-1>0$, что означает $\frac{(m-n)^2}{2mn} > 0$, т.е. $m \ne n$ и $mn>0$.

Найдем значения $x^2+1$ и $x^2-1$:

$x^2+1 = \frac{m^2+n^2}{2mn} + 1 = \frac{m^2+2mn+n^2}{2mn} = \frac{(m+n)^2}{2mn}$

$x^2-1 = \frac{m^2+n^2}{2mn} - 1 = \frac{m^2-2mn+n^2}{2mn} = \frac{(m-n)^2}{2mn}$

Подставим это в корни:

$\sqrt{x^2+1} = \sqrt{\frac{(m+n)^2}{2mn}} = \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}$

$\sqrt{x^2-1} = \sqrt{\frac{(m-n)^2}{2mn}} = \frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}}$

Теперь подставим эти выражения в нашу дробь:

$\frac{\frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}} + \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}}{\frac{|m-n|}{\sqrt{2mn}} - \frac{|m+n|}{\sqrt{2mn}}} = \frac{|m-n|+|m+n|}{|m-n|-|m+n|}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) $n > m > 0$

В этом случае $m+n > 0$, поэтому $|m+n| = m+n$.

$m-n < 0$, поэтому $|m-n| = -(m-n) = n-m$.

Дробь равна: $\frac{(n-m)+(m+n)}{(n-m)-(m+n)} = \frac{2n}{-2m} = -\frac{n}{m}$.

Тогда исходное выражение $E = \left(-\frac{n}{m}\right)^{-2} = \left(-\frac{m}{n}\right)^2 = \frac{m^2}{n^2}$.

Ответ: $\frac{m^2}{n^2}$.

б) $m > n > 0$

В этом случае $m+n > 0$, поэтому $|m+n| = m+n$.

$m-n > 0$, поэтому $|m-n| = m-n$.

Дробь равна: $\frac{(m-n)+(m+n)}{(m-n)-(m+n)} = \frac{2m}{-2n} = -\frac{m}{n}$.

Тогда исходное выражение $E = \left(-\frac{m}{n}\right)^{-2} = \left(-\frac{n}{m}\right)^2 = \frac{n^2}{m^2}$.

Ответ: $\frac{n^2}{m^2}$.

в) $m = n = 1$

При $m=n$, знаменатель $2mn$ не равен нулю, но $x^2-1 = \frac{(m-n)^2}{2mn} = 0$.

Выражение $(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ становится неопределенным, так как содержит деление на ноль.

Строго говоря, при $m=n$ выражение не определено. Однако, если найти предел выражения при $m \to n$, то в обоих случаях (a и б) он будет равен 1.

$\lim_{m \to n} \frac{n^2}{m^2} = \frac{n^2}{n^2} = 1$.

Вероятно, это и является искомым значением.

Ответ: 1.

10.19. Докажите равенство:

1) $ \frac{x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}}}{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 - 2x^{\frac{1}{q}}\left(x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{1}{p}}\right)} + \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1} = \sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x}; $

2) $ \left(\frac{9 - 4a^{-2}}{3a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{1 + a^{-1} - 6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}}\right)^4 - 16a^2 = 0. $

1) Докажем тождество, преобразуя его левую часть. Выражение состоит из двух слагаемых. Упростим каждое из них по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $ \frac{x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}}}{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 - 2x^{\frac{1}{q}}\left(x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{1}{p}}\right)} $.Упростим его знаменатель. Для этого вынесем общий множитель $ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) $ за скобки:$ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) \cdot \left[ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) - 2x^{\frac{1}{q}} \right] = \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right) $.По формуле разности квадратов это выражение равно $ \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^2 - \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^2 = x^{\frac{2}{p}} - x^{\frac{2}{q}} $.Числитель исходной дроби является разностью кубов: $ x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}} = \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^3 - \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^3 = \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right)\left(x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}}x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}\right) $.Таким образом, после подстановки преобразованных числителя и знаменателя и сокращения на общий множитель $ \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right) $, первое слагаемое примет вид:$ \frac{x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $ \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1} $.Преобразуем показатель степени в знаменателе: $ x^{\frac{q-p}{pq}} = x^{\frac{q}{pq} - \frac{p}{pq}} = x^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} = \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} $.Подставим полученное выражение в дробь и домножим ее числитель и знаменатель на $ x^{\frac{1}{q}} $:$ \frac{x^{\frac{1}{p}}}{\frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}}}{\left(\frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} + 1\right) \cdot x^{\frac{1}{q}}} = \frac{x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.

Сложим преобразованные слагаемые. Так как их знаменатели одинаковы, сложим числители:$ \frac{\left(x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}\right) + \left(x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}\right)}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} = \frac{x^{\frac{2}{p}} + 2x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $ \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^2 + 2x^{\frac{1}{p}}x^{\frac{1}{q}} + \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^2 = \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 $.Вся левая часть тождества равна: $ \frac{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}} $.По определению степени с рациональным показателем $ x^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{x} $ и $ x^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{x} $, следовательно, левая часть равна $ \sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в больших скобках, которое представляет собой разность двух дробей.

Упростим первую дробь: $ \frac{9 - 4a^{-2}}{3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}}} $.Числитель является разностью квадратов: $ 9 - 4a^{-2} = 3^2 - (2a^{-1})^2 = (3 - 2a^{-1})(3 + 2a^{-1}) $.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{-\frac{1}{2}} $: $ 3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})}) = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-1}) $.После сокращения дроби на $ (3 + 2a^{-1}) $ получаем: $ \frac{3 - 2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = (3 - 2a^{-1})a^{\frac{1}{2}} = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-1}a^{\frac{1}{2}} = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} $.

Упростим вторую дробь: $ \frac{1 + a^{-1} - 6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}} $.Разложим числитель $ 1 + a^{-1} - 6a^{-2} $ на множители. Сделаем замену $ y = a^{-1} $, тогда выражение примет вид квадратного трехчлена $ 1 + y - 6y^2 $. Корни уравнения $ -6y^2 + y + 1 = 0 $ равны $ y_1 = \frac{1}{2} $ и $ y_2 = -\frac{1}{3} $. Следовательно, $ 1 + y - 6y^2 = -6(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{3}) = (1-2y)(1+3y) $. Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $ (1 - 2a^{-1})(1 + 3a^{-1}) $.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{-\frac{1}{2}} $: $ a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(1 + 3a^{-1}) $.После сокращения дроби на $ (1 + 3a^{-1}) $ получаем: $ \frac{1 - 2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = (1 - 2a^{-1})a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} $.

Теперь найдем разность упрощенных дробей, то есть значение выражения в скобках:$ (3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} $.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:$ \left(2a^{\frac{1}{2}}\right)^4 - 16a^2 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 16a^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 16a^2 = 16a^2 - 16a^2 = 0 $.Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.

10.20. Найдите значение производной функции

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x > 2, \\ -x^2 + 2x, & \text{при } x < 2. \end{cases}$ в точке:

1) -1;

2) 0;

3) 2;

4) 5.

Для нахождения значения производной кусочно-заданной функции в точке "стыка" $x=2$ необходимо сначала проверить, является ли функция непрерывной в этой точке.

1. Проверка непрерывности функции в точке $x=2$.

Функция является непрерывной в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Для этого левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2^-$), используя выражение для $x < 2$:

$f(x) = -x^2 + 2x$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 2x) = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0$

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2^+$), используя выражение для $x > 2$:

$f(x) = x^2 - 4x$

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4x) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

Так как левосторонний предел ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = -4$), функция имеет разрыв в точке $x=2$ и не является непрерывной в этой точке.

2. Проверка дифференцируемости функции в точке $x=2$.

Согласно необходимому условию дифференцируемости, если функция не является непрерывной в точке, то она не может быть дифференцируемой в этой точке. Следовательно, производная $f'(2)$ не существует.

Однако, в задачах с выбором ответа подобная формулировка может подразумевать нахождение односторонней производной, значение которой совпадает с одним из предложенных вариантов. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные.

Найдем производную для каждого участка:

При $x > 2$, $f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$.

При $x < 2$, $f'(x) = (-x^2 + 2x)' = -2x + 2$.

Теперь вычислим односторонние производные в точке $x=2$:

Правосторонняя производная: $f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 4) = 2(2) - 4 = 0$.

Левосторонняя производная: $f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} (-2x + 2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2$.

Односторонние производные не равны ($0 \neq -2$), что еще раз подтверждает, что функция недифференцируема в точке $x=2$.

Сравнивая полученные значения с предложенными вариантами ответов:

1) -1;

2) 0;

3) 2;

4) 5.

Мы видим, что значение правосторонней производной, равное 0, совпадает с вариантом ответа 2). Вероятнее всего, это и есть искомый ответ.

Ответ: 2) 0.

10.21. Решите неравенство:

1) $\frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-2} > 0$;

2) $(x - 2)^2(x + 3)(x - 4) < 0.$

1)

Решим неравенство $ \frac{2}{x} - \frac{3}{x-1} + \frac{1}{x-2} > 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно, $ x \neq 0 $, $ x \neq 1 $ и $ x \neq 2 $.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $ x(x-1)(x-2) $:

$ \frac{2(x-1)(x-2)}{x(x-1)(x-2)} - \frac{3x(x-2)}{x(x-1)(x-2)} + \frac{x(x-1)}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

$ \frac{2(x-1)(x-2) - 3x(x-2) + x(x-1)}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ 2(x^2 - 2x - x + 2) - (3x^2 - 6x) + (x^2 - x) = 2(x^2 - 3x + 2) - 3x^2 + 6x + x^2 - x $

$ = 2x^2 - 6x + 4 - 3x^2 + 6x + x^2 - x $

Сгруппируем подобные члены:

$ (2x^2 - 3x^2 + x^2) + (-6x + 6x - x) + 4 = 0 \cdot x^2 - x + 4 = 4 - x $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{4-x}{x(x-1)(x-2)} > 0 $

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ 4 - x = 0 \implies x = 4 $.

Нули знаменателя: $ x = 0 $, $ x = 1 $, $ x = 2 $.

Нанесем эти точки на числовую ось. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разделяют ось на пять интервалов: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 1) $, $ (1; 2) $, $ (2; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x=5 $. $ \frac{4-5}{5(5-1)(5-2)} = \frac{-}{(+)(+)(+)} < 0 $.
• Интервал $ (2; 4) $: возьмем $ x=3 $. $ \frac{4-3}{3(3-1)(3-2)} = \frac{+}{(+)(+)(+)} > 0 $.
• Интервал $ (1; 2) $: возьмем $ x=1.5 $. $ \frac{4-1.5}{1.5(1.5-1)(1.5-2)} = \frac{+}{(+)(+)(-)} < 0 $.
• Интервал $ (0; 1) $: возьмем $ x=0.5 $. $ \frac{4-0.5}{0.5(0.5-1)(0.5-2)} = \frac{+}{(+)(-)(-)} > 0 $.
• Интервал $ (-\infty; 0) $: возьмем $ x=-1 $. $ \frac{4-(-1)}{(-1)(-1-1)(-1-2)} = \frac{+}{(-)(-)(-)} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $ (0; 1) $ и $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (0; 1) \cup (2; 4) $.

2)

Решим неравенство $ (x-2)^2(x+3)(x-4) < 0 $.

Используем метод интервалов. Найдем корни левой части неравенства, приравняв ее к нулю: $ (x-2)^2(x+3)(x-4) = 0 $.

Корни уравнения:

• $ x+3 = 0 \implies x = -3 $ (корень первой кратности)
• $ x-2 = 0 \implies x = 2 $ (корень второй кратности, четный)
• $ x-4 = 0 \implies x = 4 $ (корень первой кратности)

Нанесем эти точки на числовую ось. Поскольку неравенство строгое, все точки будут выколотыми. Они разделяют ось на интервалы: $ (-\infty; -3) $, $ (-3; 2) $, $ (2; 4) $ и $ (4; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале. Важно отметить, что множитель $ (x-2)^2 $ всегда неотрицателен, поэтому при переходе через точку $ x=2 $ знак всего выражения меняться не будет.

• Интервал $ (4; +\infty) $: возьмем $ x=5 $. $ (5-2)^2(5+3)(5-4) = (+)(+)(+) > 0 $.
• Интервал $ (2; 4) $: возьмем $ x=3 $. $ (3-2)^2(3+3)(3-4) = (+)(+)(-) < 0 $.
• Интервал $ (-3; 2) $: возьмем $ x=0 $. $ (0-2)^2(0+3)(0-4) = (+)(+)(-) < 0 $.
• Интервал $ (-\infty; -3) $: возьмем $ x=-4 $. $ (-4-2)^2(-4+3)(-4-4) = (+)(-)(-) > 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение строго меньше нуля. Это $ (-3; 2) $ и $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (-3; 2) \cup (2; 4) $.

10.22. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_{0}^{4} |x-2|dx$;

2) $\int_{2}^{6} |x-4|dx$;

3) $\int_{-6}^{0} |x+2|dx$;

4) $\int_{0}^{2} |x^2-2x|dx$.

1) Чтобы вычислить интеграл $\int_0^4 |x-2| dx$, нужно раскрыть модуль. Выражение $x-2$ меняет знак в точке $x=2$. Эта точка лежит в пределах интегрирования от 0 до 4. Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_0^4 |x-2| dx = \int_0^2 |x-2| dx + \int_2^4 |x-2| dx$

На интервале $[0, 2]$ выражение $x-2 \le 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

На интервале $[2, 4]$ выражение $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_0^2 (2-x) dx + \int_2^4 (x-2) dx = \left(2x - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^2 + \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right)\bigg|_2^4 = \left( (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (0) \right) + \left( (\frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) \right) = (4-2) + ((8-8) - (2-4)) = 2 + (0 - (-2)) = 2+2=4$.

Ответ: $4$

2) Для вычисления интеграла $\int_2^6 |x-4| dx$ найдем точку, в которой выражение под модулем меняет знак: $x-4=0 \implies x=4$. Эта точка находится внутри промежутка интегрирования $[2, 6]$. Разобьем интеграл на два:

$\int_2^6 |x-4| dx = \int_2^4 |x-4| dx + \int_4^6 |x-4| dx$

На интервале $[2, 4]$ выражение $x-4 \le 0$, поэтому $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

На интервале $[4, 6]$ выражение $x-4 \ge 0$, поэтому $|x-4| = x-4$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_2^4 (4-x) dx + \int_4^6 (x-4) dx = \left(4x - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_2^4 + \left(\frac{x^2}{2} - 4x\right)\bigg|_4^6 = \left( (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2}) - (4 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) \right) + \left( (\frac{6^2}{2} - 4 \cdot 6) - (\frac{4^2}{2} - 4 \cdot 4) \right) = ((16-8) - (8-2)) + ((18-24) - (8-16)) = (8-6) + (-6 - (-8)) = 2+2=4$.

Ответ: $4$

3) Для вычисления интеграла $\int_{-6}^0 |x+2| dx$ найдем точку смены знака подмодульного выражения: $x+2=0 \implies x=-2$. Эта точка находится внутри промежутка интегрирования $[-6, 0]$. Разобьем интеграл на два:

$\int_{-6}^0 |x+2| dx = \int_{-6}^{-2} |x+2| dx + \int_{-2}^0 |x+2| dx$

На интервале $[-6, -2]$ выражение $x+2 \le 0$, поэтому $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.

На интервале $[-2, 0]$ выражение $x+2 \ge 0$, поэтому $|x+2| = x+2$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_{-6}^{-2} (-x-2) dx + \int_{-2}^0 (x+2) dx = \left(-\frac{x^2}{2} - 2x\right)\bigg|_{-6}^{-2} + \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\bigg|_{-2}^0 = \left( (-\frac{(-2)^2}{2} - 2(-2)) - (-\frac{(-6)^2}{2} - 2(-6)) \right) + \left( (0) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)) \right) = ((-2+4) - (-18+12)) + (0 - (2-4)) = (2 - (-6)) + (-(-2)) = 8+2=10$.

Ответ: $10$

4) Для вычисления интеграла $\int_0^2 |x^2-2x| dx$ найдем точки, в которых выражение под модулем равно нулю: $x^2-2x = x(x-2)=0 \implies x=0$ и $x=2$. Эти точки являются границами интегрирования. Определим знак выражения $x^2-2x$ на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку $x=1$: $1^2 - 2 \cdot 1 = -1 < 0$. Значит, на всем интервале $[0, 2]$ выражение $x^2-2x \le 0$.

Следовательно, $|x^2-2x| = -(x^2-2x) = 2x-x^2$ на промежутке $[0, 2]$.

Интеграл принимает вид:

$\int_0^2 (2x-x^2) dx = \left(2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2 = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$