Страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.12. 1) Длина пути между двумя городами по реке составляет 90 км. Теплоход на весь рейс туда и обратно затрачивает 7,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $20\%$ от собственной скорости теплохода.

2) За полчаса катер проходит по течению реки такое же расстояние, что и за 40 мин против течения, причем 2 км против течения он проходит за 10 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

1)

Пусть $v_т$ (км/ч) — собственная скорость теплохода (скорость в стоячей воде), а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки.

Согласно условию задачи, скорость течения реки составляет 20% от собственной скорости теплохода, то есть:

$v_р = 0.2 \cdot v_т$

Скорость теплохода по течению реки равна $v_т + v_р$, а против течения — $v_т - v_р$.

Подставим выражение для $v_р$ в формулы скорости по и против течения:

Скорость по течению: $v_т + 0.2 v_т = 1.2 v_т$ (км/ч).

Скорость против течения: $v_т - 0.2 v_т = 0.8 v_т$ (км/ч).

Расстояние между городами составляет $S = 90$ км.

Время, затраченное на путь по течению: $t_{по} = \frac{S}{1.2 v_т} = \frac{90}{1.2 v_т}$.

Время, затраченное на путь против течения: $t_{против} = \frac{S}{0.8 v_т} = \frac{90}{0.8 v_т}$.

Общее время на весь рейс туда и обратно составляет 7,5 ч. Составим уравнение:

$t_{по} + t_{против} = 7.5$

$\frac{90}{1.2 v_т} + \frac{90}{0.8 v_т} = 7.5$

Вынесем $\frac{90}{v_т}$ за скобки:

$\frac{90}{v_т} \left( \frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} \right) = 7.5$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{0.8} = \frac{0.8 + 1.2}{1.2 \cdot 0.8} = \frac{2}{0.96}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{90}{v_т} \cdot \frac{2}{0.96} = 7.5$

$\frac{180}{0.96 v_т} = 7.5$

Теперь выразим $v_т$:

$v_т = \frac{180}{0.96 \cdot 7.5} = \frac{180}{7.2} = 25$

Таким образом, собственная скорость теплохода равна 25 км/ч.

Ответ: собственная скорость теплохода 25 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ (км/ч) — собственная скорость катера, а $v_р$ (км/ч) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки равна $v_{по} = v_к + v_р$, а против течения — $v_{против} = v_к - v_р$.

Из условия известно, что 2 км против течения катер проходит за 10 мин. Переведем минуты в часы: 10 мин = $\frac{10}{60}$ ч = $\frac{1}{6}$ ч.

Найдем скорость катера против течения:

$v_{против} = \frac{S}{t} = \frac{2 \text{ км}}{1/6 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

Таким образом, мы получили первое уравнение:

$v_к - v_р = 12$

Далее, в условии сказано, что за полчаса (0,5 ч) по течению катер проходит такое же расстояние, что и за 40 мин против течения. Переведем 40 мин в часы: 40 мин = $\frac{40}{60}$ ч = $\frac{2}{3}$ ч.

Расстояние, пройденное по течению за 0,5 ч: $S_{по} = v_{по} \cdot 0.5 = (v_к + v_р) \cdot 0.5$.

Расстояние, пройденное против течения за $\frac{2}{3}$ ч: $S_{против} = v_{против} \cdot \frac{2}{3}$.

Так как мы уже нашли, что $v_{против} = 12$ км/ч, то $S_{против} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ км.

Приравниваем расстояния: $S_{по} = S_{против}$.

$(v_к + v_р) \cdot 0.5 = 8$

$v_к + v_р = \frac{8}{0.5} = 16$.

Мы получили второе уравнение:

$v_к + v_р = 16$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} v_к - v_р = 12 \\ v_к + v_р = 16 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(v_к - v_р) + (v_к + v_р) = 12 + 16$

$2v_к = 28$

$v_к = 14$ км/ч.

Подставим значение $v_к$ во второе уравнение, чтобы найти $v_р$:

$14 + v_р = 16$

$v_р = 16 - 14 = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 14 км/ч, скорость течения реки 2 км/ч.

11.13. Представьте в виде рациональной дроби выражение:

1) $\frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

2) $\frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3}$

1) Чтобы представить выражение в виде рациональной дроби, необходимо выполнить указанные действия: деление и умножение. Согласно порядку действий, сначала выполним деление, которое заменяется умножением на обратную дробь, а затем умножение.

Исходное выражение: $\frac{3x^3}{5y^3} : \frac{27x^5}{4y^4} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3x^3}{5y^3} \cdot \frac{4y^4}{27x^5} \cdot \frac{45}{8y^2x^{-3}}$

Теперь объединим все множители в одну дробь, записав произведения числителей в новый числитель, а произведения знаменателей — в новый знаменатель:

$\frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2x^{-3}}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Множитель $x^{-3}$ в знаменателе равен $\frac{1}{x^3}$, поэтому мы можем перенести $x^3$ в числитель:

$\frac{3x^3 \cdot 4y^4 \cdot 45 \cdot x^3}{5y^3 \cdot 27x^5 \cdot 8y^2}$

Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 45}{5 \cdot 27 \cdot 8} \cdot \frac{x^3 \cdot x^3}{x^5} \cdot \frac{y^4}{y^3 \cdot y^2}$

Упростим числовое выражение, сокращая дроби:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot (5 \cdot 9)}{5 \cdot (3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 4)} = \frac{1}{2}$

Упростим выражения с переменными, используя правила действий со степенями $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^{3+3}}{x^5} = \frac{x^6}{x^5} = x^{6-5} = x$

$\frac{y^4}{y^{3+2}} = \frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$

Соберем все упрощенные части вместе:

$\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{2y}$

Ответ: $\frac{x}{2y}$

2) Данное выражение содержит два последовательных действия деления. Выполним их слева направо, заменяя каждое деление на умножение на обратную дробь.

Исходное выражение: $\frac{25a(b-1)}{81d} : \frac{5cd^2}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{2c^3d^3}$

Заменим оба знака деления на умножение на соответствующие обратные дроби:

$\frac{25a(b-1)}{81d} \cdot \frac{27ab}{5cd^2} \cdot \frac{2c^3d^3}{a^3(b-1)}$

Запишем все в виде одной дроби:

$\frac{25a(b-1) \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3(b-1)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Начнем с выражения $(b-1)$ (при условии, что $b \neq 1$):

$\frac{25a \cdot 27ab \cdot 2c^3d^3}{81d \cdot 5cd^2 \cdot a^3}$

Теперь сократим числовые коэффициенты: $25$ и $5$ на $5$; $27$ и $81$ на $27$.

$\frac{(5 \cdot \sout{5}) \cdot \sout{27} \cdot 2}{(3 \cdot \sout{27}) \cdot \sout{5}} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

Сгруппируем переменные и проведем сокращение:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{(a \cdot a) \cdot b \cdot c^3 \cdot d^3}{d \cdot c \cdot d^2 \cdot a^3} = \frac{10}{3} \cdot \frac{a^2 b c^3 d^3}{a^3 c d^3}$

Упростим степени переменных:

$\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{c^3}{c} = c^{3-1} = c^2$

$\frac{d^3}{d \cdot d^2} = \frac{d^3}{d^3} = 1$

Переменная $b$ остается в числителе. Объединим все части:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b \cdot c^2 = \frac{10bc^2}{3a}$

Ответ: $\frac{10bc^2}{3a}$

11.14. Найдите период функции:

1) $y = \cos 4\pi x + \operatorname{ctg} 2\pi x;$

2) $y = \operatorname{ctg} 6x - 2\sin 3x;$

3) $y = \operatorname{tg} \pi x - 3\cos 2\pi x;$

4) $y = 4 - \cos \frac{\pi x}{8} + 5\operatorname{tg} \frac{\pi x}{8}.$

1) Дана функция $y = \cos(4\pi x) + \operatorname{ctg}(2\pi x)$. Она представляет собой сумму двух периодических функций: $f(x) = \cos(4\pi x)$ и $g(x) = \operatorname{ctg}(2\pi x)$. Период суммы равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов слагаемых.

Период функции вида $\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \cos(4\pi x)$, где $k = 4\pi$, период $T_1 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период функции вида $\operatorname{ctg}(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $g(x) = \operatorname{ctg}(2\pi x)$, где $k = 2\pi$, период $T_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$.

Наименьший общий период $T$ равен $\operatorname{НОК}(T_1, T_2)$.

$T = \operatorname{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Дана функция $y = \operatorname{ctg}(6x) - 2\sin(3x)$. Она представляет собой сумму двух периодических функций: $f(x) = \operatorname{ctg}(6x)$ и $g(x) = -2\sin(3x)$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для $f(x) = \operatorname{ctg}(6x)$, где $k=6$, период $T_1 = \frac{\pi}{|6|} = \frac{\pi}{6}$.

Для $g(x) = -2\sin(3x)$, где $k=3$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$. Для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ используется формула $\frac{\operatorname{НОК}(a, c)}{\operatorname{НОД}(b, d)}$.

$T = \operatorname{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}) = \pi \cdot \operatorname{НОК}(\frac{1}{6}, \frac{2}{3}) = \pi \cdot \frac{\operatorname{НОК}(1, 2)}{\operatorname{НОД}(6, 3)} = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

3) Дана функция $y = \operatorname{tg}(\pi x) - 3\cos(2\pi x)$. Она является суммой двух периодических функций: $f(x) = \operatorname{tg}(\pi x)$ и $g(x) = -3\cos(2\pi x)$.

Найдем периоды каждой из функций.

Период функции вида $\operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \operatorname{tg}(\pi x)$, где $k=\pi$, период $T_1 = \frac{\pi}{|\pi|} = 1$.

Период функции вида $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $g(x) = -3\cos(2\pi x)$, где $k=2\pi$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.

Найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \operatorname{НОК}(T_1, T_2) = \operatorname{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: $1$

4) Дана функция $y = 4 - \cos(\frac{\pi x}{8}) + 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$. Слагаемое-константа $4$ не влияет на периодичность функции. Рассмотрим сумму двух функций: $f(x) = -\cos(\frac{\pi x}{8})$ и $g(x) = 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для функции $f(x) = -\cos(\frac{\pi x}{8})$, где $k=\frac{\pi}{8}$, период $T_1 = \frac{2\pi}{|\pi/8|} = \frac{2\pi \cdot 8}{\pi} = 16$.

Для функции $g(x) = 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$, где $k=\frac{\pi}{8}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|\pi/8|} = \frac{\pi \cdot 8}{\pi} = 8$.

Найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \operatorname{НОК}(T_1, T_2) = \operatorname{НОК}(16, 8) = 16$.

Ответ: $16$