Номер 11.14, страница 95 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.14. Найдите период функции:

1) $y = \cos 4\pi x + \operatorname{ctg} 2\pi x;$

2) $y = \operatorname{ctg} 6x - 2\sin 3x;$

3) $y = \operatorname{tg} \pi x - 3\cos 2\pi x;$

4) $y = 4 - \cos \frac{\pi x}{8} + 5\operatorname{tg} \frac{\pi x}{8}.$

1) Дана функция $y = \cos(4\pi x) + \operatorname{ctg}(2\pi x)$. Она представляет собой сумму двух периодических функций: $f(x) = \cos(4\pi x)$ и $g(x) = \operatorname{ctg}(2\pi x)$. Период суммы равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов слагаемых.

Период функции вида $\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \cos(4\pi x)$, где $k = 4\pi$, период $T_1 = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.

Период функции вида $\operatorname{ctg}(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $g(x) = \operatorname{ctg}(2\pi x)$, где $k = 2\pi$, период $T_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$.

Наименьший общий период $T$ равен $\operatorname{НОК}(T_1, T_2)$.

$T = \operatorname{НОК}(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Дана функция $y = \operatorname{ctg}(6x) - 2\sin(3x)$. Она представляет собой сумму двух периодических функций: $f(x) = \operatorname{ctg}(6x)$ и $g(x) = -2\sin(3x)$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для $f(x) = \operatorname{ctg}(6x)$, где $k=6$, период $T_1 = \frac{\pi}{|6|} = \frac{\pi}{6}$.

Для $g(x) = -2\sin(3x)$, где $k=3$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$. Для дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ используется формула $\frac{\operatorname{НОК}(a, c)}{\operatorname{НОД}(b, d)}$.

$T = \operatorname{НОК}(\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}) = \pi \cdot \operatorname{НОК}(\frac{1}{6}, \frac{2}{3}) = \pi \cdot \frac{\operatorname{НОК}(1, 2)}{\operatorname{НОД}(6, 3)} = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$

3) Дана функция $y = \operatorname{tg}(\pi x) - 3\cos(2\pi x)$. Она является суммой двух периодических функций: $f(x) = \operatorname{tg}(\pi x)$ и $g(x) = -3\cos(2\pi x)$.

Найдем периоды каждой из функций.

Период функции вида $\operatorname{tg}(kx)$ равен $T = \frac{\pi}{|k|}$. Для $f(x) = \operatorname{tg}(\pi x)$, где $k=\pi$, период $T_1 = \frac{\pi}{|\pi|} = 1$.

Период функции вида $\cos(kx)$ равен $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Для $g(x) = -3\cos(2\pi x)$, где $k=2\pi$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|2\pi|} = 1$.

Найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \operatorname{НОК}(T_1, T_2) = \operatorname{НОК}(1, 1) = 1$.

Ответ: $1$

4) Дана функция $y = 4 - \cos(\frac{\pi x}{8}) + 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$. Слагаемое-константа $4$ не влияет на периодичность функции. Рассмотрим сумму двух функций: $f(x) = -\cos(\frac{\pi x}{8})$ и $g(x) = 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$.

Найдем периоды каждой из функций.

Для функции $f(x) = -\cos(\frac{\pi x}{8})$, где $k=\frac{\pi}{8}$, период $T_1 = \frac{2\pi}{|\pi/8|} = \frac{2\pi \cdot 8}{\pi} = 16$.

Для функции $g(x) = 5\operatorname{ctg}(\frac{\pi x}{8})$, где $k=\frac{\pi}{8}$, период $T_2 = \frac{\pi}{|\pi/8|} = \frac{\pi \cdot 8}{\pi} = 8$.

Найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$.

$T = \operatorname{НОК}(T_1, T_2) = \operatorname{НОК}(16, 8) = 16$.

Ответ: $16$