Номер 11.8, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.8. Используя формулы сложных корней докажите, что значение выражения $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$ при $x > 2$ не зависит от переменной $x$.

Для доказательства утверждения необходимо упростить данное выражение. Обозначим его через $E$:$E = \sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} - \sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$

Условие $x > 2$ гарантирует, что все подкоренные выражения, включая $x-1$, положительны, поэтому выражение определено.

Для упрощения "сложных корней" (вложенных радикалов) вида $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ используется метод выделения полного квадрата под корнем. Мы ищем такие числа $a$ и $b$, чтобы подкоренное выражение можно было представить в виде $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a+b \pm 2\sqrt{ab}$.

Рассмотрим первый член выражения: $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}}$.

Здесь нам нужно найти $a$ и $b$ такие, что $a+b = x$ и $ab = x-1$.

Подберем значения. Пусть $a = x-1$ и $b = 1$.

Проверяем: $a+b = (x-1) + 1 = x$ и $ab = (x-1) \cdot 1 = x-1$. Условия выполняются.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать как полный квадрат:$x + 2\sqrt{x-1} = (x-1) + 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.

Таким образом, первый член равен:$\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} = |\sqrt{x-1} + 1|$.

Поскольку $\sqrt{x-1}$ является неотрицательным числом, сумма $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительна. Значит, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

Теперь рассмотрим второй член выражения: $\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}}$.

Аналогично, используя $a = x-1$ и $b = 1$, получаем:

$x - 2\sqrt{x-1} = (x-1) - 2\sqrt{x-1} + 1 = (\sqrt{x-1})^2 - 2\cdot\sqrt{x-1}\cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Таким образом, второй член равен:$\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = |\sqrt{x-1} - 1|$.

Чтобы раскрыть модуль, используем заданное условие $x > 2$.

Если $x > 2$, то $x-1 > 1$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{x-1} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{x-1} > 1$.

Отсюда следует, что разность $\sqrt{x-1} - 1$ является положительным числом, поэтому $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное равенство:$E = (\sqrt{x-1} + 1) - (\sqrt{x-1} - 1) = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2$.

Значение выражения равно 2, что является константой и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно 2, что доказывает его независимость от переменной $x$ при $x > 2$.