Номер 11.1, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Выполните действия (11.1–11.2):

11.1.1) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$;

2) $\frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} + \frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}}$;

3) $\frac{1}{11-2\sqrt{30}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}}$;

4) $\frac{5}{3+2\sqrt{2}} + \frac{5}{3-2\sqrt{2}}$.

11.1. 1) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению их знаменателей: $ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) $.

Используя формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $, вычисляем знаменатель:

$ (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2 $.

Теперь преобразуем исходное выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{2} $.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $:

$ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} $.

$ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15} $.

Сложим полученные выражения в числителе:

$ (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16 $.

Подставим значение числителя в дробь:

$ \frac{16}{2} = 8 $.

Ответ: 8.

2) Приведем дроби к общему знаменателю $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) $.

По формуле разности квадратов: $ (11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 11^2 - (\sqrt{21})^2 = 121 - 21 = 100 $.

Преобразуем выражение:

$ \frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2}{(11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21})} = \frac{(11^2 + 2\cdot11\sqrt{21} + 21) + (11^2 - 2\cdot11\sqrt{21} + 21)}{100} $.

Упростим числитель:

$ \frac{(121 + 22\sqrt{21} + 21) + (121 - 22\sqrt{21} + 21)}{100} = \frac{142 + 22\sqrt{21} + 142 - 22\sqrt{21}}{100} = \frac{284}{100} $.

Сократим дробь:

$ \frac{284}{100} = \frac{71 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{71}{25} $.

Ответ: $ \frac{71}{25} $.

3) Приведем дроби к общему знаменателю $ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) $.

По формуле разности квадратов:

$ (11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - (4 \cdot 30) = 121 - 120 = 1 $.

Преобразуем выражение:

$ \frac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \frac{(11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30})}{1} $.

Раскроем скобки в числителе:

$ 11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30} = 4\sqrt{30} $.

Ответ: $ 4\sqrt{30} $.

4) Приведем дроби к общему знаменателю $ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) $.

По формуле разности квадратов:

$ (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $.

Преобразуем выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{5(3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2})}{1} $.

Упростим числитель:

$ 5(3+3) = 5 \cdot 6 = 30 $.

Ответ: 30.