Номер 11.7, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.7. Используя формулы сложных корней (радикалов) упростите выражение: $\sqrt{a + 2\sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a - 1}}$

Для упрощения выражения $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a - 2\sqrt{a-1}}$ воспользуемся тем, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов, используя формулы $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\sqrt{a-1}$ определено при $a-1 \ge 0$, то есть при $a \ge 1$. Выражение $a - 2\sqrt{a-1}$ должно быть неотрицательным. Представим его как $(\sqrt{a-1})^2 - 2\sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1}-1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это условие выполняется для всех $a \ge 1$. Выражение $a + 2\sqrt{a-1}$ при $a \ge 1$ очевидно положительно. Таким образом, ОДЗ всего выражения: $a \ge 1$.

Преобразуем первое подкоренное выражение, выделив полный квадрат:$a + 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 + 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} + 1)^2$.Тогда $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2} = |\sqrt{a-1} + 1|$. Поскольку $\sqrt{a-1} \ge 0$ при $a \ge 1$, то и $\sqrt{a-1}+1 > 0$, следовательно, модуль можно опустить: $\sqrt{a-1} + 1$.

Аналогично преобразуем второе подкоренное выражение:$a - 2\sqrt{a-1} = (a-1) + 1 - 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{a-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{a-1} - 1)^2$.Тогда $\sqrt{a - 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1} - 1)^2} = |\sqrt{a-1} - 1|$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:$(\sqrt{a-1} + 1) + |\sqrt{a-1} - 1|$.Для раскрытия модуля необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $\sqrt{a-1} - 1$.

Рассмотрим первый случай, когда $\sqrt{a-1} - 1 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{a-1} \ge 1$. Возводя обе неотрицательные части в квадрат, получаем $a-1 \ge 1$, что равносильно $a \ge 2$. В этом случае $|\sqrt{a-1} - 1| = \sqrt{a-1} - 1$.Тогда все выражение равно:$(\sqrt{a-1} + 1) + (\sqrt{a-1} - 1) = \sqrt{a-1} + 1 + \sqrt{a-1} - 1 = 2\sqrt{a-1}$.

Рассмотрим второй случай, когда $\sqrt{a-1} - 1 < 0$. Это неравенство выполняется при $\sqrt{a-1} < 1$. Возводя обе части в квадрат, получаем $a-1 < 1$, что равносильно $a < 2$. С учетом ОДЗ ($a \ge 1$), этот случай описывается двойным неравенством $1 \le a < 2$. В этом случае $|\sqrt{a-1} - 1| = -(\sqrt{a-1} - 1) = 1 - \sqrt{a-1}$.Тогда все выражение равно:$(\sqrt{a-1} + 1) + (1 - \sqrt{a-1}) = \sqrt{a-1} + 1 + 1 - \sqrt{a-1} = 2$.

Ответ: $\begin{cases} 2\sqrt{a-1}, & \text{если } a \ge 2 \\ 2, & \text{если } 1 \le a < 2 \end{cases}$