Номер 11.4, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.4. Упростите выражение: $(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3}) : \frac{2m}{m - 6\sqrt{m} + 9}$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

1. Вычитание в скобках:

Общим знаменателем для дробей $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3}$ и $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3}$ является произведение их знаменателей $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$, которое по формуле разности квадратов равно $(\sqrt{m})^2 - 3^2 = m-9$.

$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}-3} - \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}+3} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3) - \sqrt{m}(\sqrt{m}-3)}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{m+3\sqrt{m} - (m-3\sqrt{m})}{m-9} = \frac{m+3\sqrt{m} - m + 3\sqrt{m}}{m-9} = \frac{6\sqrt{m}}{m-9}$

2. Упрощение делителя:

Рассмотрим знаменатель второго выражения: $m - 6\sqrt{m} + 9$. Это выражение является полным квадратом разности.

$m - 6\sqrt{m} + 9 = (\sqrt{m})^2 - 2 \cdot \sqrt{m} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{m}-3)^2$

Таким образом, всё исходное выражение можно записать как:

$\frac{6\sqrt{m}}{m-9} : \frac{2m}{(\sqrt{m}-3)^2}$

3. Выполнение деления:

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Также заменим $m-9$ на $(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)$:

$\frac{6\sqrt{m}}{(\sqrt{m}-3)(\sqrt{m}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{m}-3)^2}{2m}$

Теперь можно сократить общие множители. Сокращаем $(\sqrt{m}-3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{6\sqrt{m} \cdot (\sqrt{m}-3)}{2m(\sqrt{m}+3)}$

Далее сократим числовые коэффициенты и переменные. Учитывая, что $m = (\sqrt{m})^2$, получаем:

$\frac{6\sqrt{m}}{2m} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{m}}{2(\sqrt{m})^2} = \frac{3}{\sqrt{m}}$

После сокращения выражение принимает окончательный вид:

$\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$

Ответ: $\frac{3(\sqrt{m}-3)}{\sqrt{m}(\sqrt{m}+3)}$.