Номер 10.20, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.20. Найдите значение производной функции

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x > 2, \\ -x^2 + 2x, & \text{при } x < 2. \end{cases}$ в точке:

1) -1;

2) 0;

3) 2;

4) 5.

Для нахождения значения производной кусочно-заданной функции в точке "стыка" $x=2$ необходимо сначала проверить, является ли функция непрерывной в этой точке.

1. Проверка непрерывности функции в точке $x=2$.

Функция является непрерывной в точке, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Для этого левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2^-$), используя выражение для $x < 2$:

$f(x) = -x^2 + 2x$

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x^2 + 2x) = -(2)^2 + 2(2) = -4 + 4 = 0$

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2^+$), используя выражение для $x > 2$:

$f(x) = x^2 - 4x$

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 4x) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$

Так как левосторонний предел ($\lim_{x \to 2^-} f(x) = 0$) не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to 2^+} f(x) = -4$), функция имеет разрыв в точке $x=2$ и не является непрерывной в этой точке.

2. Проверка дифференцируемости функции в точке $x=2$.

Согласно необходимому условию дифференцируемости, если функция не является непрерывной в точке, то она не может быть дифференцируемой в этой точке. Следовательно, производная $f'(2)$ не существует.

Однако, в задачах с выбором ответа подобная формулировка может подразумевать нахождение односторонней производной, значение которой совпадает с одним из предложенных вариантов. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные.

Найдем производную для каждого участка:

При $x > 2$, $f'(x) = (x^2 - 4x)' = 2x - 4$.

При $x < 2$, $f'(x) = (-x^2 + 2x)' = -2x + 2$.

Теперь вычислим односторонние производные в точке $x=2$:

Правосторонняя производная: $f'_+(2) = \lim_{x \to 2^+} (2x - 4) = 2(2) - 4 = 0$.

Левосторонняя производная: $f'_-(2) = \lim_{x \to 2^-} (-2x + 2) = -2(2) + 2 = -4 + 2 = -2$.

Односторонние производные не равны ($0 \neq -2$), что еще раз подтверждает, что функция недифференцируема в точке $x=2$.

Сравнивая полученные значения с предложенными вариантами ответов:

1) -1;

2) 0;

3) 2;

4) 5.

Мы видим, что значение правосторонней производной, равное 0, совпадает с вариантом ответа 2). Вероятнее всего, это и есть искомый ответ.

Ответ: 2) 0.