Вопросы, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. В каких случаях удобно использовать каждый из указанных выше способов преобразования иррациональных выражений?

2. Есть ли отличия в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

3. Какие известные знания были применены при доказательстве формулы (1)?

1. В каких случаях удобно использовать каждый из указанных выше способов преобразования иррациональных выражений?

Поскольку в вопросе не уточняются конкретные способы, рассмотрим наиболее распространенные из них:

• Вынесение множителя из-под знака корня. Этот способ удобен, когда подкоренное выражение можно разложить на множители, среди которых есть точные квадраты (или кубы для кубических корней и т.д.). Это позволяет упростить вид выражения. Например, при преобразовании $\sqrt{48}$ можно заметить, что $48 = 16 \cdot 3$, где 16 — это $4^2$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
• Внесение множителя под знак корня. Этот метод, обратный предыдущему, особенно полезен при сравнении величин иррациональных чисел. Чтобы сравнить $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$, внесем множители под корень: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$, а $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$. Так как $80 > 75$, то и $4\sqrt{5} > 5\sqrt{3}$.
• Избавление от иррациональности в знаменателе. Этот прием является стандартным для упрощения дробей, содержащих корни в знаменателе. Он делает выражение более удобным для дальнейших вычислений.
  • Если знаменатель — одиночный корень, например $\frac{7}{\sqrt{2}}$, дробь умножается на этот корень: $\frac{7 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
  • Если знаменатель — сумма или разность с корнем, например $\frac{1}{5-\sqrt{3}}$, дробь умножается на сопряженное выражение ($5+\sqrt{3}$), чтобы использовать формулу разности квадратов: $\frac{1 \cdot (5+\sqrt{3})}{(5-\sqrt{3})(5+\sqrt{3})} = \frac{5+\sqrt{3}}{5^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{5+\sqrt{3}}{25-3} = \frac{5+\sqrt{3}}{22}$.
• Приведение подобных слагаемых. Этот способ используется при сложении и вычитании выражений, которые содержат одинаковые иррациональные части (слагаемые с одинаковыми корнями). Например, в выражении $8\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 3\sqrt{6}$ все слагаемые являются подобными, и их можно сложить: $(8+2-3)\sqrt{6} = 7\sqrt{6}$.

Ответ: Вынесение множителя из-под корня удобно для упрощения отдельных радикалов. Внесение множителя под корень — для сравнения иррациональных чисел. Избавление от иррациональности в знаменателе — для упрощения дробей и приведения их к стандартному виду. Приведение подобных слагаемых — для упрощения сумм и разностей, содержащих одинаковые корни.

2. Есть ли отличия в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

Да, между преобразованиями рациональных и иррациональных выражений существуют принципиальные отличия.

Основное отличие заключается в том, что при работе с иррациональными выражениями, содержащими корни четной степени (квадратные, четвертой степени и т.д.), необходимо строго следить за областью допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени не может быть отрицательным. Например, выражение $\sqrt{a-2}$ имеет смысл только при $a \ge 2$. Для рациональных выражений (дробей) главное ограничение — неравенство знаменателя нулю.

Второе отличие — это наличие специфических тождественных преобразований, присущих только иррациональным выражениям. К ним относятся уже описанные выше операции: вынесение множителя из-под знака корня и внесение под него, а также избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Эти преобразования базируются на свойствах степеней и корней, таких как $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Таких операций нет при работе с рациональными выражениями.

Хотя общие алгебраические законы (распределительный, переместительный, сочетательный) и формулы сокращенного умножения применяются в обоих случаях, их приложение к иррациональным выражениям имеет свою специфику. Например, формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ является ключевым инструментом для избавления от иррациональности, что является уникальной задачей для иррациональных выражений.

Ответ: Да, отличия есть. Главные из них — это необходимость учета ОДЗ для подкоренных выражений в иррациональных выражениях и наличие специальных методов преобразования (работа с корнями, избавление от иррациональности), которые не применяются к рациональным выражениям.

3. Какие известные знания были применены при доказательстве формулы (1)?

Так как сама формула (1) в вопросе не приведена, можно предположить, что речь идет об одной из ключевых формул темы, например, о тождестве, которое используется для избавления от иррациональности в знаменателе дроби вида $\frac{C}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}}$. Это тождество основано на формуле разности квадратов: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$.

Для доказательства этого тождества (при условии $a \ge 0, b \ge 0$) были использованы следующие базовые знания из курса алгебры:

1. Определение арифметического квадратного корня. По определению, $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого $x \ge 0$. Это свойство применяется при умножении $\sqrt{a}$ на $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ на $\sqrt{b}$.
2. Распределительный закон умножения (правило умножения многочленов или раскрытия скобок). Применяя его к левой части, получаем: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} + \sqrt{b}\cdot\sqrt{a} - \sqrt{b}\cdot\sqrt{b}$.
3. Переместительный (коммутативный) закон умножения. Он гласит, что $x \cdot y = y \cdot x$. Благодаря ему мы знаем, что $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{b}\cdot\sqrt{a}$.
4. Приведение подобных слагаемых. Слагаемые $-\sqrt{a}\sqrt{b}$ и $+\sqrt{b}\sqrt{a}$ являются противоположными, и их сумма равна нулю.

Собирая все вместе: $(\sqrt{a})^2 - \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{a}\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2 = a + 0 - b = a-b$.

Таким образом, доказательство опирается на самые фундаментальные свойства арифметических операций и определение квадратного корня.

Ответ: При доказательстве формулы $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$ были применены: определение арифметического квадратного корня, распределительный и переместительный законы умножения, а также правило приведения подобных слагаемых.