Номер 10.19, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.19. Докажите равенство:

1) $ \frac{x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}}}{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 - 2x^{\frac{1}{q}}\left(x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{1}{p}}\right)} + \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1} = \sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x}; $

2) $ \left(\frac{9 - 4a^{-2}}{3a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}}} - \frac{1 + a^{-1} - 6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}}\right)^4 - 16a^2 = 0. $

1) Докажем тождество, преобразуя его левую часть. Выражение состоит из двух слагаемых. Упростим каждое из них по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое: $ \frac{x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}}}{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 - 2x^{\frac{1}{q}}\left(x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{1}{p}}\right)} $.Упростим его знаменатель. Для этого вынесем общий множитель $ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) $ за скобки:$ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) \cdot \left[ \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) - 2x^{\frac{1}{q}} \right] = \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right) \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right) $.По формуле разности квадратов это выражение равно $ \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^2 - \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^2 = x^{\frac{2}{p}} - x^{\frac{2}{q}} $.Числитель исходной дроби является разностью кубов: $ x^{\frac{3}{p}} - x^{\frac{3}{q}} = \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^3 - \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^3 = \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right)\left(x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}}x^{\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}\right) $.Таким образом, после подстановки преобразованных числителя и знаменателя и сокращения на общий множитель $ \left(x^{\frac{1}{p}} - x^{\frac{1}{q}}\right) $, первое слагаемое примет вид:$ \frac{x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.

Теперь рассмотрим второе слагаемое: $ \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{q-p}{pq}} + 1} $.Преобразуем показатель степени в знаменателе: $ x^{\frac{q-p}{pq}} = x^{\frac{q}{pq} - \frac{p}{pq}} = x^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} = \frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} $.Подставим полученное выражение в дробь и домножим ее числитель и знаменатель на $ x^{\frac{1}{q}} $:$ \frac{x^{\frac{1}{p}}}{\frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} + 1} = \frac{x^{\frac{1}{p}} \cdot x^{\frac{1}{q}}}{\left(\frac{x^{\frac{1}{p}}}{x^{\frac{1}{q}}} + 1\right) \cdot x^{\frac{1}{q}}} = \frac{x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.

Сложим преобразованные слагаемые. Так как их знаменатели одинаковы, сложим числители:$ \frac{\left(x^{\frac{2}{p}} + x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}\right) + \left(x^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}}\right)}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} = \frac{x^{\frac{2}{p}} + 2x^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} + x^{\frac{2}{q}}}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} $.Числитель полученной дроби является полным квадратом суммы: $ \left(x^{\frac{1}{p}}\right)^2 + 2x^{\frac{1}{p}}x^{\frac{1}{q}} + \left(x^{\frac{1}{q}}\right)^2 = \left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2 $.Вся левая часть тождества равна: $ \frac{\left(x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}\right)^2}{x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}}} = x^{\frac{1}{p}} + x^{\frac{1}{q}} $.По определению степени с рациональным показателем $ x^{\frac{1}{p}} = \sqrt[p]{x} $ и $ x^{\frac{1}{q}} = \sqrt[q]{x} $, следовательно, левая часть равна $ \sqrt[p]{x} + \sqrt[q]{x} $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в больших скобках, которое представляет собой разность двух дробей.

Упростим первую дробь: $ \frac{9 - 4a^{-2}}{3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}}} $.Числитель является разностью квадратов: $ 9 - 4a^{-2} = 3^2 - (2a^{-1})^2 = (3 - 2a^{-1})(3 + 2a^{-1}) $.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{-\frac{1}{2}} $: $ 3a^{-\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-\frac{3}{2} - (-\frac{1}{2})}) = a^{-\frac{1}{2}}(3 + 2a^{-1}) $.После сокращения дроби на $ (3 + 2a^{-1}) $ получаем: $ \frac{3 - 2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = (3 - 2a^{-1})a^{\frac{1}{2}} = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-1}a^{\frac{1}{2}} = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} $.

Упростим вторую дробь: $ \frac{1 + a^{-1} - 6a^{-2}}{a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}}} $.Разложим числитель $ 1 + a^{-1} - 6a^{-2} $ на множители. Сделаем замену $ y = a^{-1} $, тогда выражение примет вид квадратного трехчлена $ 1 + y - 6y^2 $. Корни уравнения $ -6y^2 + y + 1 = 0 $ равны $ y_1 = \frac{1}{2} $ и $ y_2 = -\frac{1}{3} $. Следовательно, $ 1 + y - 6y^2 = -6(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{3}) = (1-2y)(1+3y) $. Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $ (1 - 2a^{-1})(1 + 3a^{-1}) $.В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ a^{-\frac{1}{2}} $: $ a^{-\frac{1}{2}} + 3a^{-\frac{3}{2}} = a^{-\frac{1}{2}}(1 + 3a^{-1}) $.После сокращения дроби на $ (1 + 3a^{-1}) $ получаем: $ \frac{1 - 2a^{-1}}{a^{-\frac{1}{2}}} = (1 - 2a^{-1})a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} $.

Теперь найдем разность упрощенных дробей, то есть значение выражения в скобках:$ (3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) - (a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}}) = 3a^{\frac{1}{2}} - 2a^{-\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} + 2a^{-\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} $.

Подставим полученный результат обратно в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:$ \left(2a^{\frac{1}{2}}\right)^4 - 16a^2 = 2^4 \cdot (a^{\frac{1}{2}})^4 - 16a^2 = 16a^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 16a^2 = 16a^2 - 16a^2 = 0 $.Равенство доказано.

Ответ: Равенство доказано.