Номер 11.2, страница 93 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.2.1) $\sqrt{6+\sqrt{20}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{20}};$

2) $\sqrt{4+\sqrt{15}} \cdot \sqrt{4-\sqrt{15}};$

3) $(\sqrt{14}-3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28};$

4) $(3\sqrt{5}+\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Объединим выражения под одним корнем:

$\sqrt{6+\sqrt{20}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{20}} = \sqrt{(6+\sqrt{20})(6-\sqrt{20})}$.

В выражении под корнем мы видим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a=6$ и $b=\sqrt{20}$.

Применим эту формулу:

$\sqrt{6^2 - (\sqrt{20})^2} = \sqrt{36 - 20} = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4

2) Этот пример решается аналогично первому, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и формулу разности квадратов.

$\sqrt[4]{4+\sqrt{15}} \cdot \sqrt[4]{4-\sqrt{15}} = \sqrt[4]{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}$.

Применим формулу разности квадратов, где $a=4$ и $b=\sqrt{15}$:

$\sqrt[4]{4^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt[4]{16 - 15} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: 1

3) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=\sqrt{14}$ и $b=3\sqrt{2}$.

$(\sqrt{14}-3\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{28} = ((\sqrt{14})^2 - 2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2) + 6\sqrt{28}$.

Вычислим каждый член в скобках:

$(\sqrt{14})^2 = 14$

$2 \cdot \sqrt{14} \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{14 \cdot 2} = 6\sqrt{28}$

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$(14 - 6\sqrt{28} + 18) + 6\sqrt{28} = 32 - 6\sqrt{28} + 6\sqrt{28}$.

Взаимно уничтожаем $-6\sqrt{28}$ и $+6\sqrt{28}$:

$32 - 6\sqrt{28} + 6\sqrt{28} = 32$.

Ответ: 32

4) Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=3\sqrt{5}$ и $b=\sqrt{15}$.

$(3\sqrt{5}+\sqrt{15})^2 - 10\sqrt{27} = ((3\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2) - 10\sqrt{27}$.

Вычислим и упростим каждый член выражения:

$(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$

$2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} = 6\sqrt{5 \cdot 15} = 6\sqrt{75}$

$(\sqrt{15})^2 = 15$

Подставим обратно:

$(45 + 6\sqrt{75} + 15) - 10\sqrt{27} = 60 + 6\sqrt{75} - 10\sqrt{27}$.

Теперь упростим корни $\sqrt{75}$ и $\sqrt{27}$:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

Подставим упрощенные корни в выражение:

$60 + 6(5\sqrt{3}) - 10(3\sqrt{3}) = 60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3}$.

Взаимно уничтожаем $30\sqrt{3}$ и $-30\sqrt{3}$:

$60 + 30\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60$.

Ответ: 60