Номер 10.22, страница 88 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10.22. Вычислите определенный интеграл:

1) $\int_{0}^{4} |x-2|dx$;

2) $\int_{2}^{6} |x-4|dx$;

3) $\int_{-6}^{0} |x+2|dx$;

4) $\int_{0}^{2} |x^2-2x|dx$.

1) Чтобы вычислить интеграл $\int_0^4 |x-2| dx$, нужно раскрыть модуль. Выражение $x-2$ меняет знак в точке $x=2$. Эта точка лежит в пределах интегрирования от 0 до 4. Поэтому разобьем интеграл на два:

$\int_0^4 |x-2| dx = \int_0^2 |x-2| dx + \int_2^4 |x-2| dx$

На интервале $[0, 2]$ выражение $x-2 \le 0$, поэтому $|x-2| = -(x-2) = 2-x$.

На интервале $[2, 4]$ выражение $x-2 \ge 0$, поэтому $|x-2| = x-2$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_0^2 (2-x) dx + \int_2^4 (x-2) dx = \left(2x - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_0^2 + \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right)\bigg|_2^4 = \left( (2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) - (0) \right) + \left( (\frac{4^2}{2} - 2 \cdot 4) - (\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2) \right) = (4-2) + ((8-8) - (2-4)) = 2 + (0 - (-2)) = 2+2=4$.

Ответ: $4$

2) Для вычисления интеграла $\int_2^6 |x-4| dx$ найдем точку, в которой выражение под модулем меняет знак: $x-4=0 \implies x=4$. Эта точка находится внутри промежутка интегрирования $[2, 6]$. Разобьем интеграл на два:

$\int_2^6 |x-4| dx = \int_2^4 |x-4| dx + \int_4^6 |x-4| dx$

На интервале $[2, 4]$ выражение $x-4 \le 0$, поэтому $|x-4| = -(x-4) = 4-x$.

На интервале $[4, 6]$ выражение $x-4 \ge 0$, поэтому $|x-4| = x-4$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_2^4 (4-x) dx + \int_4^6 (x-4) dx = \left(4x - \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_2^4 + \left(\frac{x^2}{2} - 4x\right)\bigg|_4^6 = \left( (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2}) - (4 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}) \right) + \left( (\frac{6^2}{2} - 4 \cdot 6) - (\frac{4^2}{2} - 4 \cdot 4) \right) = ((16-8) - (8-2)) + ((18-24) - (8-16)) = (8-6) + (-6 - (-8)) = 2+2=4$.

Ответ: $4$

3) Для вычисления интеграла $\int_{-6}^0 |x+2| dx$ найдем точку смены знака подмодульного выражения: $x+2=0 \implies x=-2$. Эта точка находится внутри промежутка интегрирования $[-6, 0]$. Разобьем интеграл на два:

$\int_{-6}^0 |x+2| dx = \int_{-6}^{-2} |x+2| dx + \int_{-2}^0 |x+2| dx$

На интервале $[-6, -2]$ выражение $x+2 \le 0$, поэтому $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.

На интервале $[-2, 0]$ выражение $x+2 \ge 0$, поэтому $|x+2| = x+2$.

Подставляем и вычисляем:

$\int_{-6}^{-2} (-x-2) dx + \int_{-2}^0 (x+2) dx = \left(-\frac{x^2}{2} - 2x\right)\bigg|_{-6}^{-2} + \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\bigg|_{-2}^0 = \left( (-\frac{(-2)^2}{2} - 2(-2)) - (-\frac{(-6)^2}{2} - 2(-6)) \right) + \left( (0) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)) \right) = ((-2+4) - (-18+12)) + (0 - (2-4)) = (2 - (-6)) + (-(-2)) = 8+2=10$.

Ответ: $10$

4) Для вычисления интеграла $\int_0^2 |x^2-2x| dx$ найдем точки, в которых выражение под модулем равно нулю: $x^2-2x = x(x-2)=0 \implies x=0$ и $x=2$. Эти точки являются границами интегрирования. Определим знак выражения $x^2-2x$ на интервале $(0, 2)$. Возьмем пробную точку $x=1$: $1^2 - 2 \cdot 1 = -1 < 0$. Значит, на всем интервале $[0, 2]$ выражение $x^2-2x \le 0$.

Следовательно, $|x^2-2x| = -(x^2-2x) = 2x-x^2$ на промежутке $[0, 2]$.

Интеграл принимает вид:

$\int_0^2 (2x-x^2) dx = \left(2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2 = \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right)\bigg|_0^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$