Номер 11.6, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.6. Выполните действия:

1) $\sqrt[3]{12 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12 + \sqrt{19}};$

2) $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}};$

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3};$

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}.$

1) $\sqrt[3]{12 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[3]{12 + \sqrt{19}}$

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(12 - \sqrt{19})(12 + \sqrt{19})}$

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=12$ и $b=\sqrt{19}$:

$\sqrt[3]{12^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt[3]{144 - 19} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 125$, то кубический корень из 125 равен 5.

$\sqrt[3]{125} = 5$

Ответ: 5

2) $\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$

В выражении под корнем применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{17}$:

$\sqrt[5]{7^2 - (\sqrt{17})^2} = \sqrt[5]{49 - 17} = \sqrt[5]{32}$

Так как $2^5 = 32$, то корень пятой степени из 32 равен 2.

$\sqrt[5]{32} = 2$

Ответ: 2

3) $(2\sqrt{27} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) : \frac{1}{2}\sqrt{3}$

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $2\sqrt{27}$:

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \cdot 3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

Подставим полученное значение в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(6\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = (6\sqrt{3} + 4\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{6} = 10\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{6}$

Теперь выполним деление. Разделим каждый член полученного выражения на $\frac{1}{2}\sqrt{3}$:

$\frac{10\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} - \frac{\frac{1}{2}\sqrt{6}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}} = (10\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) - (\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) = 20 - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$

Используя свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, получаем:

$20 - \sqrt{\frac{6}{3}} = 20 - \sqrt{2}$

Ответ: $20 - \sqrt{2}$

4) $(5\sqrt{8} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 2\sqrt{18}) : \frac{1}{3}\sqrt{2}$

Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней:

$5\sqrt{8} = 5\sqrt{4 \cdot 2} = 5 \cdot 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:

$(10\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10} - 6\sqrt{2}) = (10\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) - \frac{1}{3}\sqrt{10} = 4\sqrt{2} - \frac{1}{3}\sqrt{10}$

Теперь выполним деление, разделив каждый член на $\frac{1}{3}\sqrt{2}$:

$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} - \frac{\frac{1}{3}\sqrt{10}}{\frac{1}{3}\sqrt{2}} = (4\sqrt{2} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}) - (\frac{1}{3}\sqrt{10} \cdot \frac{3}{\sqrt{2}}) = 12 - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$

Упростим последнее слагаемое:

$12 - \sqrt{\frac{10}{2}} = 12 - \sqrt{5}$

Ответ: $12 - \sqrt{5}$