Номер 11.11, страница 94 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

11.11. Упростите:

1) $\left(\frac{2\sqrt{x}}{x^2}\right)^{-3} - \left(\left(x\sqrt{x}\right)^{-1}\right)^{\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}};$

2) $\left(\left(\sqrt[3]{x}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{6}{5}} - \left(\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{-\frac{4}{3}};$

3) $\left(\frac{x^2}{\sqrt[4]{x^3}}\right)^{\frac{4}{5}} - \left(\sqrt[3]{x^2\sqrt{x^3}}\right)^{\frac{6}{7}};$

4) $\sqrt{1 + \left(\frac{x^2 - 1}{2x}\right)^2} : \left((x^2 + 1) \cdot \frac{1}{x}\right).$

1) Исходное выражение: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} - ((x\sqrt{x})^{-1})^{\frac{1}{2}} + \sqrt{\sqrt{x^3}}$.

Для упрощения представим все корни и степени в виде степенных выражений с рациональными показателями. Используем свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое: $(\frac{2\sqrt{x}}{x^2})^{-3} = (\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^2})^{-3} = (2x^{\frac{1}{2}-2})^{-3} = (2x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = 2^{-3}(x^{-\frac{3}{2}})^{-3} = \frac{1}{8}x^{(-\frac{3}{2}) \cdot (-3)} = \frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}}$.

Второе слагаемое: $-((x\sqrt{x})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -((x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -((x^{\frac{3}{2}})^{-1})^{\frac{1}{2}} = -(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = -x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = -x^{-\frac{3}{4}}$.

Третье слагаемое: $\sqrt{\sqrt{x^3}} = \sqrt{(x^3)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$.

Теперь сложим все упрощенные слагаемые: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{-\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}}$.

Ответ: $\frac{1}{8}x^{\frac{9}{2}} - x^{-\frac{3}{4}} + x^{\frac{3}{4}}$.

2) Исходное выражение: $(\frac{(\sqrt[3]{x})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} - ((\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней.

Первое слагаемое: $(\frac{(\sqrt[3]{x})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (\frac{(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (\frac{x^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{5}}})^{\frac{6}{5}} = (x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{5}})^{\frac{6}{5}} = (x^{\frac{5-6}{30}})^{\frac{6}{5}} = (x^{-\frac{1}{30}})^{\frac{6}{5}} = x^{-\frac{1}{30} \cdot \frac{6}{5}} = x^{-\frac{6}{150}} = x^{-\frac{1}{25}}$.

Второе слагаемое: $-((\frac{1}{\sqrt[4]{x}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = -((x^{-\frac{1}{4}})^{-\frac{4}{3}})^{\frac{3}{5}} = -(x^{(-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{4}{3})})^{\frac{3}{5}} = -(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}} = -x^{\frac{1}{5}}$.

Объединим полученные выражения: $x^{-\frac{1}{25}} - x^{\frac{1}{5}}$.

Ответ: $x^{-\frac{1}{25}} - x^{\frac{1}{5}}$.

3) Исходное выражение: $(\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}})^{\frac{4}{5}} - (\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3}})^6$.

Упростим каждый член выражения отдельно.

Первый член: $(\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^2}})^{\frac{4}{5}} = (\frac{x^2}{x^{\frac{2}{3}}})^{\frac{4}{5}} = (x^{2 - \frac{2}{3}})^{\frac{4}{5}} = (x^{\frac{4}{3}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{16}{15}}$.

Второй член: $-(\sqrt[7]{\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3}})^6$. Сначала упростим подкоренное выражение: $\sqrt[3]{x^2}\sqrt{x^3} = x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = x^{\frac{4+9}{6}} = x^{\frac{13}{6}}$.

Теперь применим корень и степень: $-(\sqrt[7]{x^{\frac{13}{6}}})^6 = -((x^{\frac{13}{6}})^{\frac{1}{7}})^6 = -(x^{\frac{13}{42}})^6 = -x^{\frac{13 \cdot 6}{42}} = -x^{\frac{13}{7}}$.

Объединим результаты: $x^{\frac{16}{15}} - x^{\frac{13}{7}}$.

Ответ: $x^{\frac{16}{15}} - x^{\frac{13}{7}}$.

4) Исходное выражение: $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2} : ((x^2+1) \cdot \frac{1}{x})$.

Это выражение определено при $x \neq 0$.

Рассмотрим первую часть выражения (делимое): $\sqrt{1+(\frac{x^2-1}{2x})^2}$.

Упростим выражение под корнем: $1+(\frac{x^2-1}{2x})^2 = 1 + \frac{(x^2-1)^2}{(2x)^2} = 1 + \frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^2}{4x^2} + \frac{x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{4x^2+x^4-2x^2+1}{4x^2} = \frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}$.

Числитель и знаменатель являются полными квадратами: $x^4+2x^2+1 = (x^2+1)^2$ и $4x^2 = (2x)^2$.

Таким образом, выражение под корнем равно $(\frac{x^2+1}{2x})^2$.

Извлекаем квадратный корень: $\sqrt{(\frac{x^2+1}{2x})^2} = |\frac{x^2+1}{2x}|$.

Поскольку $x^2+1$ всегда положительно для любого действительного $x$, то $|\frac{x^2+1}{2x}| = \frac{x^2+1}{|2x|}$.

Рассмотрим вторую часть выражения (делитель): $(x^2+1) \cdot \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$.

Теперь выполним деление: $\frac{x^2+1}{|2x|} : \frac{x^2+1}{x} = \frac{x^2+1}{|2x|} \cdot \frac{x}{x^2+1}$.

Сокращаем на $x^2+1$ (этот член никогда не равен нулю): $\frac{x}{|2x|}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|2x| = 2x$. Выражение равно $\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$.

2. Если $x < 0$, то $|2x| = -2x$. Выражение равно $\frac{x}{-2x} = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$ при $x>0$ и $-\frac{1}{2}$ при $x<0$.