Вопросы, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. От чего зависят виды степенной функции?

2. В каких случаях степенная функция будет ограничена сверху, а в каких — снизу?

3. Почему в степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}}$ дробь $\frac{m}{n}$ должна быть несократимой?

1. От чего зависят виды степенной функции?

Виды степенной функции $y = x^p$ и, соответственно, свойства и форма её графика, целиком и полностью зависят от значения показателя степени $p$. Различные классы чисел, к которым принадлежит показатель $p$, определяют разные типы степенных функций.

Основные случаи:

1. Показатель $p$ — натуральное чётное число (например, $p=2, 4, 6, \dots$). Функция $y = x^{2k}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является чётной, её график симметричен относительно оси ординат. Пример: $y=x^2$ (парабола).

2. Показатель $p$ — натуральное нечётное число (например, $p=1, 3, 5, \dots$). Функция $y = x^{2k-1}$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$, является нечётной, её график симметричен относительно начала координат. Пример: $y=x^3$ (кубическая парабола).

3. Показатель $p$ — целое отрицательное чётное число (например, $p=-2, -4, \dots$). Функция $y = x^{-2k} = \frac{1}{x^{2k}}$ определена для всех $x \neq 0$, является чётной. Пример: $y=x^{-2}$.

4. Показатель $p$ — целое отрицательное нечётное число (например, $p=-1, -3, \dots$). Функция $y = x^{-(2k-1)} = \frac{1}{x^{2k-1}}$ определена для всех $x \neq 0$, является нечётной. Пример: $y=x^{-1}$ (гипербола).

5. Показатель $p$ — положительное дробное число.

• Если $p = \frac{m}{n}$ (несократимая дробь) и $0 < p < 1$, график функции выпуклый вверх.
• Если $p > 1$, график функции выпуклый вниз.
• Область определения зависит от знаменателя $n$: если $n$ — чётное, то $x \ge 0$; если $n$ — нечётное, то $x \in \mathbb{R}$.

6. Показатель $p$ — отрицательное дробное число. Функция определена для $x > 0$ (если знаменатель дроби чётный) или для $x \neq 0$ (если знаменатель нечётный). График представляет собой гиперболическую кривую.

7. Показатель $p$ — иррациональное число. Степенная функция $y = x^p$ определяется только для $x \ge 0$.

Ответ: Виды степенной функции зависят от показателя степени $p$: является ли он целым или дробным, положительным, отрицательным или нулём, а для целых и дробных показателей — также от его чётности или нечётности.

2. В каких случаях степенная функция будет ограничена сверху, а в каких — снизу?

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $c$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $f(x) \ge c$. Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $C$, что $f(x) \le C$.

Ограничение снизу:

Степенная функция $y=x^p$ ограничена снизу, как правило, числом 0. Это происходит в следующих случаях:

1. Показатель $p$ — положительное чётное натуральное число ($p = 2, 4, \dots$). Например, для $y=x^2$ значения всегда неотрицательны ($y \ge 0$).

2. Показатель $p$ — рациональная дробь $p=\frac{m}{n}$ (несократимая), у которой числитель $m$ — чётное число. В этом случае $y = x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m$, и поскольку $m$ — чётное, результат возведения в степень всегда неотрицателен. Например, $y = x^{2/3}$ или $y = x^{-4/5}$.

3. Показатель $p$ — любое действительное число, но область определения функции ограничена неотрицательными числами ($x \ge 0$). В этом случае при $p>0$ функция ограничена снизу нулём ($y \ge 0$), а при $p<0$ она также ограничена снизу нулём ($y > 0$).

Ограничение сверху:

На своей естественной области определения степенная функция $y=x^p$ с ненулевым показателем, как правило, не ограничена сверху. Её значения либо уходят в бесконечность при $x \to \infty$ (если $p>0$), либо при $x \to 0$ (если $p<0$).

Единственный случай, когда степенная функция ограничена сверху (и снизу) на всей своей области определения — это тривиальный случай, когда показатель $p=0$. Тогда функция принимает вид $y = x^0 = 1$ для всех $x \neq 0$. Эта функция ограничена сверху (например, числом 1) и снизу (числом 1).

Ответ: Степенная функция $y=x^p$ ограничена снизу, если её значения всегда неотрицательны, что бывает при чётном положительном показателе ($p=2k$) или при дробном показателе $p=m/n$ с чётным числителем $m$. Ограниченной сверху на своей естественной области определения степенная функция является только в случае $p=0$.

3. Почему в степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}}$ дробь $\frac{m}{n}$ должна быть несократимой?

Требование несократимости дроби $\frac{m}{n}$ в определении степенной функции $y = x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$ необходимо для того, чтобы функция была определена однозначно. Если не придерживаться этого правила, то для одного и того же рационального показателя можно получить разные функции.

Рассмотрим пример. Пусть показатель степени равен $p = \frac{1}{3}$. Это несократимая дробь. Функция $y = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Например, при $x=-8$ получаем $y = \sqrt[3]{-8} = -2$.

Теперь возьмём сократимую дробь, равную $\frac{1}{3}$, например, $\frac{2}{6}$. Если мы будем определять функцию как $y = x^{2/6} = \sqrt[6]{x^2}$, то получим другой результат. Эта функция также определена для всех $x \in \mathbb{R}$, поскольку $x^2$ всегда неотрицательно. Однако при $x=-8$ мы получим: $y = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$.

Таким образом, мы получили две разные функции: $f(x) = x^{1/3}$ и $g(x) = x^{2/6} = \sqrt{|x|}$. Для $x<0$ их значения не совпадают (и даже имеют разные знаки). Чтобы избежать этой неоднозначности, в математике принято соглашение (конвенция): при определении степенной функции с рациональным показателем $p$ его всегда представляют в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$.

Ответ: Дробь в показателе степени должна быть несократимой для того, чтобы обеспечить однозначность определения степенной функции. Использование сократимых дробей может привести к получению разных функций для одного и того же значения показателя, особенно при работе с отрицательными основаниями.